Rudolf Steiner
A PATRA DIMENSIUNE

GA 324a

NOTE • PARTEA a II-a

Berlin, 22 octombrie 1908

1. Aceste răspunsuri la întrebări au fost date după o conferință despre creștinism (încă nepublicată în ediția completă a operelor lui Rudolf Steiner), ținută în fața secției de la Berlin.
2. Jan Arnoldus Schouten (1883-1971). Vezi nota 22, conferința din 17 mai 1905. Această întrebare sugerează că problema celei de a patra dimensiuni era de actualitate chiar și în cercul apropiat lui Steiner și că prin conferințele sale referitoare la a patra dimensiune el voia să trateze problemele de știință a spiritului legate de aceasta.

Stuttgart, 2 septembrie 1906

3. Această sesiune întrebare-și-răspuns a avut loc în timpul ciclului de conferințe Vor dem Tore der Theosophie (GA 95).
4. Aparent, prin spațiu Rudolf Steiner înțelege spațiul ordinar, perceptibil, care este definit de legile geometriei euclidiene. În acest tip de spațiu, infinitul (sau planul de la infinit atunci când acesta este încastrat în spațiul proiectiv) este o frontieră impenetrabilă. Conform lui Steiner, aceasta nu se aplică spațiului astral a cărui structură este înrudită cu aceea a spațiului proiectiv. În acest tip de spațiu nu există limite și nici infinit de neatins. Spațiul proiectiv este închis în sine, adică putem să ne îndreptăm, pornind de la un punct fix, în orice direcție pentru ca în cele din urmă să ne întoarcem la același punct.
5. Nu a fost încă posibil să reconstruim exact ceea ce vrea să spună această afirmație. Pe baza desenului care a fost păstrat (figura 62), afirmația poate fi un fragment al unei explicații cu aproximativ următorul conținut: în a doua dimensiune un obiect bidimensional aflat în interiorul unui cerc nu poate părăsi cercul fără să-i intersecteze circumferința. Totuși obiectul poate fi ușor mutat în afara cercului, prin folosirea celei de a treia dimensiuni. La fel, un obiect aflat în interiorul unei sfere din spațiul tridimensional nu poate fi înlăturat fără a străpunge sfera, cu excepția trecerii prin cea de a patra dimensiune. (Vezi explicațiile în conferința din 24 martie 1905 și notele însoțitoare.)

Nürnberg, 28 iunie 1908

6. Această sesiune întrebare-și-răspuns a avut loc în timpul ciclului de conferințe Apocalipsa Sfântului Ioan (GA 104).
7. Kant, Introducere la orice metafizică viitoare [1783], „Idei cosmologice”, §50-53; și Critica rațiunii pure (1787), „Antinomiile rațiunii pure, primul conflict de idei transcendentale”, §454 și urm. Kant arată că argumentele pot fi prezentate atât pro cât și contra infinității spațiului. Pentru el, originea acestei contradicții constă în presupunerea implicită că spațiul și obiectele sale trebuie luate ca date absolute și ca legi obiective ale lucrurilor în sine („von Dingen an sich”). Dacă ele sunt înțelese în sensul în care spune Kant, și anume doar ca imagini mentale (moduri de a privi lucrurile sau fenomenele) ale lucrurilor în sine, atunci „conflictul ideilor” dispare.
8. Afirmațiile lui Rudolf Steiner sunt bazate aici pe descoperirea că geometria euclidiană este inclusă în geometria proiectivă. O linie dreaptă euclidiană dispare la infinit în ambele direcții, iar direcțiile dreapta și stânga sunt separate de infinit (punctul de la infinit). O linie dreaptă proiectivă nu are asemenea limite ‒ în privința ordonării punctelor sale ea este închisă ca un cerc.
9. Textul care a fost păstrat este insuficient pentru a stabili dacă Steiner atribuie spațiului astral o anumită curbă geometrică. O linie dreaptă proiectivă închisă în sine nu este curbată. Este posibil ca Steiner să fi vrut doar să scoată în evidență relațiile structurale de pe o linie dreaptă proiectivă și felul în care se comportă acestea pe circumferința unui cerc.
10. Aici, de asemenea, se pare că Steiner folosește termenul sferă numai pentru a atrage atenția asupra caracterului închis în sine al spațiului astral, în sensul unui spațiu proiectiv. În sens topologic nu este echivalent nici cu planul proiectiv al unei sfere bidimensionale și nici cu spațiul proiectiv al unei sfere tridimensionale.

Düsseldorf, 21 aprilie 1909

11. Această sesiune întrebare-și-răspuns și următoarea au avut loc în timpul ciclului de conferințe Ierarhiile spirituale și lumea fizică (GA 110).

Düsseldorf, 22 aprilie 1909

12. Această afirmație nu poate fi găsită în lucrările lui Platon. Vine de la conversațiile ținute la masă, povestite de Plutarh, care formează o secțiune a lucrării sale Moralia. Acolo un participant la conversație spune: „Dumnezeu face continuu geometrie, dacă această afirmație poate fi cu adevărat atribuită lui Platon.” Plutarh adaugă: „Această afirmație nu este de găsit nicăieri în scrierile lui Platon, dar există suficiente dovezi că îi aparține și că este în armonie cu caractetul său” (Plutarh, Moralia, („Quaestiones convivales”, cartea VIII, întrebarea a doua; Stephanus 718c).
13. Vezi, de asemenea, eseul lui Rudolf Steiner „Matematică și ocultism” (1904), în Filosofie și antroposofie (GA 35).
14. Vezi notele la întrebările și răspunsurile din 2 septembrie 1906 și 28 iunie 1908. Termenul geometrie de poziție este un nume anacronic al geometriei sintetice proiective.
15. Din punctul de vedere al geometriei proiective, toate teoremele din geometria euclidiană având de-a face cu pozițiile și aranjarea punctelor, dreptelor și planelor (și fără vreo operație de măsurare) sunt văzute ca fiind cazuri particulare sau cazuri limită ale teoremelor de geometrie proiectivă.
16. Două puncte A și B ale unei drepte proiective s împart linia în două segmente (figura 91), unul dintre ele include punctul de la infinit al dreptei s. În geometria proiectivă se consideră că ambele segmente leagă punctele A și B unul de celălalt. În geometria euclidiană, însă se consideră că numai segmentul care nu conține punctul de la infinit al liniei drepte leagă unul de celălalt cele două puncte A și B.
    
    
17. Viespea gogoașei de ristic de pe frunzele de stejar: discuții similare despre posibilitatea ca părți individuale ale unui întreg să se poată influența reciproc fără a fi în contact spațial se găsesc și în conferințele lui Rudolf Steiner din 22 octombrie 1906 de la Berlin (în GA 96) și 22 martie 1922 de la Dornach (în GA 222). Niciuna din multele subspecii ale acestor viespi descrise în literatura științifică nu se potrivește descrierii lui Rudolf Steiner, dar la câteva din speciile viespilor săpătoare de galerii, în mod special la subspeciile viespilor de nisip, există o porțiune de legătură lungă și subțire între cap și abdomen. Se poate ca cel care a luat notele să fi auzit greșit numele insectei.

Berlin, 2 noiembrie 1910

18. Notele unei sesiuni întrebare-și-răspuns din timpul unui ciclu de conferințe „Psychosophie”, în Anthroposophie-Psychosophie-Pneumatosophie (GA 115).
19. Adăugiri care au fost făcute la textul german de către editorul inițial pentru a clarifica înțelesul sunt bazate pe conferința lui Rudolf Steiner din 7 iunie 1905, iar întrebările și răspunsurile au avut loc după conferința din 17 mai 1905.

Basel, 1 octombrie 1911

20. Notele unei sesiuni întrebare-și-răspuns după conferința ținută membrilor intitulată „Eterizarea sângelui. Intervenția lui Hristos eteric în evoluția Pământului”, în Creștinismul esoteric și conducerea spirituală a omenirii (GA 130).

München, 25 noiembrie 1912

21. Această sesiune întrebare-și-răspuns a avut loc după o conferință despre „Wahrheiten der Geistesforschung" care a fost publicată în periodicul Mensch und Welt: Blätter für Anthroposophie, vol. 20, nr. 5, pp. 167-177. Nu a fost încă publicată în ediția completă (GA) a operelor lui Rudolf Steiner.
22. Rudolf Steiner se referă aici din nou la studiile lui Bernhard Riemann, menționate de câteva ori în conferințe. Vezi nota l, conferința I.
23. Oskar Simony (1852-1915). Vezi conferința lui Rudolf Steiner din 24 martie 1905 (conferința I) și nota 14.
24. Vezi Rudolf Steiner, Cursul vieții mele (GA 28).
25. Vezi răspunsurile la întrebările premergătoare și notele însoțitoare.

Berlin, 13 februarie 1913

26. Notele unei sesiuni de întrebări și răspunsuri după o conferință publică, ținută la Berlin în Casa Arhitecților, despre „Lionardos geistige Grösse am Wendepunkt zur neuren Zeiten” (GA 62).
27. Das Märchen a lui Goethe.
28. Pentru discuții ulterioare asupra legii oculte generale a repetiției și repetiției cu variație vezi Știința ocultă a lui Rudolf Steiner (GA 13), capitolul 4, „Evoluția cosmică și ființa umană”. Despre legea repetiției ca principiu elementar al lumii eterice, vezi, de exemplu, conferința lui Rudolf Steiner din 21 octombrie 1908 (GA 107), unde el ilustrează acest principiu folosind exemplul creșterii unei plante și scoate în evidență repetiția cu variație în procesul continuu al formării frunzei.
29. Semnificația repetițiilor în cuvântările lui Buddha este, de asemenea, menționată în conferințele lui Steiner ținute în 18 septembrie 1912 (GA 139) și în după-amiaza zilei de 27 septembrie 1921 (inclusă în GA 343).
30. Fra Luca Pacioli (c. 1445-1517), care a fost influențat de Piero della Francesca (1410-1792) și Leonardo da Vinci (1452-1519), a scris Divina proportione (Veneția, 1509) folosind desene copiate de la prietenul lui Leonardo. Această scriere era primul studiu complet, concentrat asupra caracteristicilor matematice și estetice ale Secțiunii de aur.
    
    Secțiunea de aur (sectio aurea) numită și „diviziunea constantă” rezultă din dividerea unui segment de dreaptă în două segmente în așa fel încât raportul dintre segmentul cel mic și cel mare să fie același cu cel existent între segmentul cel mare și segmentul întreg. Dacă continuăm să divizăm segmentul conform cu Secțiunea de aur, rezultatul este un șir de segmente astfel încât raportul dintre oricare două segmente adiacente este Secțiunea de aur. Aceasta explică termenul diviziune constantă.
    
    Un alt caz al principiului repetiției și al repetiției variate în contextul Secțiunii de aur este apariția Secțiunii de aur în fracțiile continue. Mai mult decât atât, fracțiile care aproximează aceste fracții-șiruri sunt raporturile membrilor succesivi ai seriei lui Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8..., care joacă un rol major în aranjarea frunzelor la plante (phyllotaxis) (vezi Coxeter [1981], capitolul 11).

Berlin, 27 noiembrie 1913

31. Întrebări și răspunsuri după conferința publică „Vom Tode”, ținută la Berlin în Casa Arhitecților (publicată în GA 63).
32. Conferința lui Rudolf Steiner din 19 martie 1914, „Zwischen Tod und Wiedergeburt des Menschen” (publicată în GA 63).
33. Ca o completare a acestei sesiuni de întrebări și răspunsuri vezi, de asemenea, întrebările și răspunsurile din 7 martie 1920 și notele însoțitoare.

Stuttgart, 1919

34. O notă scrisă de Rudolf Steiner ca răspuns la o întrebare pusă de Georg Herberg. Un facsimil al acestei note este inclus în volumul Cursul despre lumină. Impulsuri ale științei spirituale pentru dezvoltarea fizicii. Primul curs de științe naturale (GA 320); Dornach, 1987, p. 192. Georg Herberg (1876-1963) este unul dintre primii ingineri cu doctorat din Germania, după 1913, inginer consultant independent în domeniul căldurii și economiei de energie la Stuttgart, cu începere din 1913.

Stuttgart, 7 martie 1920

35. Întrebări și răspunsuri în timpul ciclului de conferințe Căldura la granița dintre spațiu și anispațiu. Impulsuri ale științei spirituale pentru dezvoltarea fizicii. Al doilea curs de științe naturale (GA 321). Aceste întrebări au fost puse de Hermann von Baravalle (1898-1973), profesor de matematică și fizică la prima școală Waldorf din Stuttgart, după o conferință a sa asupra teoriei relativității (Stuttgart, 7 martie 1920). Până în prezent, nu a fost descoperită nicio transcriere a conferinței lui Baravalle.
36. Teoria elasticității era unul din ajutoarele folosite de fizicienii secolului al XIX-lea în formularea variatelor lor teorii ale opticii, care presupuneau toate existența unui eter fizic cvasimaterial. Mai târziu, teoria electromagnetică a luminii a lui James Clark Maxwell (1831-1879), în conjuncție cu rezultatul negativ al experienței deplasării eterului a lui Albert Michelson (1852-1931) și Edward Morley (1838-1923), a înlocuit ideea unui eter cvasimaterial dar a eșuat în a-l elimina total din fizică. (Despre evoluția teoriilor eterului și statutul lor la sfârșitul secolului al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea, vezi Whittaker [1951-1953]).
    
    În volumul II al conferințelor sale despre fizica teoretică [1944], § 15, Arnold Sommerfeld (1868-1951) discută un model de eter bazat pe ideea unui corp cvasielastic. Acest model își are originile în investigațiile lui James MacCullagh (1809-1847); pentru mai multe informații vezi Klein [1926]. Sommerfeld arată că ecuațiile mișcării acestui corp iau forma ecuațiilor electrodinamice ale lui Maxwell pentru spațiul vid.
    
    Friedrich Dustmann [1991] arată că acest model de eter îndeplinește toate cerințele pentru o teorie a luminii pe care o prezintă Steiner aici și în alte părți. În plus, baza acestui model de eter cvasielastic este un tensor antisimetric specific, care din punct de vedere geometric reprezintă un complex liniar, formând astfel o punte către teoria numerelor hipercomplexe, pe care Steiner o menționează în răspunsul său la o întrebare pusă de Strakosch la 11 martie 1920. (Pentru mai multe despre acest subiect vezi Gschwind [1991], în mod special secțiunea 8.5 și [1986], pp. 158-161.)
    
    Nu mai este posibil să stabilim dacă Steiner se referea aici indirect la scrieri despre teoria mecanică și elastică a luminii și dacă se gândea la o extensie potrivită sau la un suplement la teoriile din vremea sa. În orice caz, trebuie să ținem cont că sugestiile lui Steiner pentru transformarea sau reformularea unei teorii despre eter pentru matematică și fizică nu trebuie imaginate doar în contextul unei fenomenologii pur materiale și energetice a luminii; vezi răspunsurile lui Steiner la întrebări din 31 martie 1920 (Blümel) și din 15 ianuarie 1921 precum și notele insoțitoare. Din acest punct de vedere remarcile lui Steiner, de aici și din pasajele care urmează, nu sunt de interpretat ca o critică la fundamentele științifice ale teoriei speciale a relativității a lui Einstein, ci mai degrabă ca un apel la o completare potrivită a perspectivelor fizicii prin metodele și conceptele științei antroposofice a spiritului (vezi, de asemenea, conferința sa din 6 ianuarie 1923, în GA 326).
    
    Remarci asemănătoare ale lui Steiner privind oscilația elastică/ intoarcerea luminii, sunt de găsit în conferința sa din 6 decembrie, 1919 (GA 194), în conferința către profesori din 25 septembrie 1919 (GA 300a) și în conferința din 16 februarie 1924 (GA 235). Afirmații similare despre comportamentul energiei se găsesc în întrebările și răspunsurile din 12 noiembrie 1917 (GA 73).
37. Albert Einstein (1879-1955), fizician la Zürich, Berlin și Princeton; fondatorul teoriei speciale a relativității și a teoriei generale a gravitației.
    
    Singurul pasaj din scrierile lui Steiner adresat teoriei speciale a relativității se află în Enigmele filosofiei (GA 18), pp. 590-593. Acest pasaj este de importanță fundamentală pentru evaluarea tuturor comentariilor lui Steiner despre teoria relativității din conferințe și sesiuni de tip întrebare-și-răspuns. Pentru a clarifica concepția de bază a lui Steiner asupra teoriei relativității, acest pasaj va fi citat aici în întregime:
    
    „O nouă direcție în gândire a fost stimulată de încercarea lui Einstein de a transforma conceptele fundamentale ale fizicii. Până acum fizica a descris fenomenele accesibile ei imaginându-le aranjate în spațiul gol tridimensional și în timpul unidimensional. Astfel, se presupunea că spațiul și timpul există în cantități fixate, în afara obiectelor și evenimentelor și independent de ele. Cu privire la obiecte se măsurau distanțe în spațiu; cu privire la evenimente se măsurau durate în timp.  Conform cu această concepție despre spațiu și timp, distanța și durata nu aparțin obiectelor și evenimentelor. Această concepție a fost  contracarată de teoria relativității introdusă de Einstein. Din această perspectivă distanța dintre două obiecte aparține obiectelor însele. ( O anumită distanță de la un alt obiect este un atribut, o proprietate a obiectului ca oricare alta pe care el o posedă. Relațiile dintre ele sunt inerente obiectelor, iar în afara acestor relații nu există ceea ce noi numim spațiu. Presupunerea existenței independente a spațiului face posibilă conceperea unei geometrii pentru acel spațiu, o geometrie care poate fi aplicată lumii obiectelor. Această geometrie apare în lumea gândurilor pure, iar obiectele trebuie să i se supună. Putem spune că în lume relațiile trebuie să se supună legilor care au fost formulate în gândire înainte ca obiectele să fie observate. Teoria relativității detronează această geometrie. Numai obiectele există, obiecte ale căror relații pot fi descrise în termenii geometriei. Geometria devine o parte a fizicii. În acest caz, nu mai putem spune că legile geometriei pot fi enunțate înainte ca obiectele să fie observate. Niciun obiect nu are o poziție în spațiu, ci doar distanțe relative față de alte obiecte.
    
    El admite ceva similar și despre timp. Niciun eveniment nu există la un anumit moment în timp; se întâmplă la o distanță temporală de un alt eveniment. Astfel distanțele spațiale și temporale între obiecte aflate în legătură sunt similare și curg împreună. Timpul devine a patra dimensiune care este similară cu cele trei dimensiuni ale spațiului. Un eveniment petrecut cu un obiect poate fi descris numai ca având loc la o distanță spațială și temporală de alte evenimente. Mișcarea unui obiect poate fi concepută numai petrecându-se în relație cu alte obiecte. Numai de la acest punct de vedere se așteaptă să ofere explicații neeronate ale anumitor procese din fizică, pe când presupunerea existenței unui spațiu independent și a unui timp independent conduce la gânduri contradictorii referitor la aceste procese.
    
    Când luăm în considerare faptul că mulți gânditori au acceptat numai acele aspecte ale științelor naturale care pot fi prezentate în termeni matematici, teoria relativități nu conține nimic altceva decât anularea oricărei științe reale despre natură, întrucât aspectul științific al matematicii era considerat înainte a consta în abilitatea sa de a stabili legile spațiului și timpului independent de observațiile asupra naturii. Acum, din contra, se spune că obiectele naturale și procesele naturale determină relațiile spațiale și temporale; aceste obiecte și evenimente trebuie să furnizeze matematica. Singurul factor cert este abandonat incertitudinii.
    
    Conform cu acest punct de vedere, fiecare gând despre o realitate esențială care își manifestă natura în existență este exclus. Totul este doar raportat la altceva.
    
    În măsura în care noi ființele umane ne uităm la noi înșine în contextul obiectelor și proceselor naturale nu vom fi în stare să scăpăm de concluziile acestei teorii a relativității. Dacă totuși experiența noastră despre noi înșine ca ființe ne păzește de a ne pierde în pure relativități ca într-o stare de paralizie sufletească, nu ne va mai fi permis să căutăm ființare intrinsecă în domeniul naturii, ci doar deasupra și dincolo de natură, în regatul spiritului.
    
    Nu vom scăpa de teoria relativității cu privire la lumea fizică, dar ea ne va conduce în cunoașterea spiritului. Semnificația teoriei relativității constă în sublinierea necesității de cunoaștere a spiritului care este căutată prin mijloace spirituale și independent de observațiile noastre asupra naturii. Faptul că teoria relativității ne forțează să gândim în acest mod își arată valoarea în evoluția concepției noastre despre lume.”
    
    Pentru discuții ulterioare despre probleme specifice privitoare la teoria relativității adresate de această sesiune de întrebări și răspunsuri, vezi Unger [1967], capitolul VIII, și Gschwind [1986] și literatura pe care ei o citează. Vezi, de asemenea, adăugirile la această notă în Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, nr. 114/115, p. 41, Dornach, 1995.
    
    Rudolf Steiner a vorbit în mod repetat despre teoria relativității și în mod aparent nu a făcut o deosebire clară între teoria specială a relativității și teoria generală a gravitației, pe care Einstein a numit-o de asemenea teoria generală a relativității. Următoarele conferințe și sesiuni de întrebări și răspunsuri (Î&R) discută sau menționează teoria relativității (TR). Lista nu pretinde că este exhaustivă.
    
    

    Conferința	Anul	GA	Pagina	Cuvinte cheie
    27 noiembrie	1913	324a	Î&R	TR, viteză
    	1914	18	590-593	Einstein, TR, spațiu, timp
    20 august	1915	164	251-267	Viteză, Flammarion (lumen), Einstein, Minkovski, Planck, Poincare
    15 aprilie	1916	65	657-658	Conceptul de eter al lui Planck, gravităție
    21 august	1916	170	178-181	TR, Einstein, Lorentz
    7 august	1917	176	239	TR, Einstein
    29 august	1919	294	121-123	Gravitație, TR, Einstein
    25 septembrie	1919	300a	92-93	TR, Einstein, Lorentz
    1 martie	1920	321	20-22	Einstein, TR, refracția și difracția luminii
    3 martie	1920	321	57	Einstein, TR, a patra dimensiune
    7 martie	1920	324a	Î&R	Viteza luminii, TR, Einstein, (Baravalle) difracția luminii
    7 martie	1920	324a	Î&R	Ecuația masă-energie, (Herberg) Einstein
    24 martie	1920	73a ediție specială, 1950	12-13	Einstein, Lorentz, masă/energie
    27 martie	1920	73a ediție specială, 1950	45-51	TR, eter, viteza luminii, Einstein, Mie, Nordstrom
    31 martie	1920	324a	Î&R	Conceptul de eter al lui Planck, TR, materie imponderabilă
    18 aprilie	1920	201	90-91	Einstein, TR
    24 aprilie	1920	201	129-131	TR, gravitație, Einstein
    1 mai	1920	201	163	TR, teoria mercurului!
    15 mai	1920	201	233	Einstein, TR, gravitație
    22 septembrie	1920	300a	233	Einstein (menționat)
    15 octombrie	1920	324a	Î&R	TR, viteză, Einstein
    15 ianuarie	1921	324a	Î&R	TR, Einstein (menționat)
    7 aprilie	1921	76/324a	Î&R	TR, logică (menționată)
    12 aprilie	1921	313	30	Eter, Einstein (menționat)
    27 iunie	1921	250f
    28 iunie	1921	205	42-13, 51	Einstein, TR
    8 iulie	1921	205	150-151	Einstein, TR, logică
    7 august	1921	206	110	Einstein, TR (menționată)
    14 octombrie	1921	339	74	Einstein, TR (menționată)
    15 octombrie	1921	207	168-169	TR (menționată)
    4 noimebrie	1921	208	137	Einstein, TR (menționată)
    31 decembrie	1921	209	186	Einstein (menționat)
    15 martie	1922	300b	77	Einstein (menționat)
    12 aprilie	1922	82/324a	Î&R	TR, Einstein, absoluturi
    27 decembrie	1922	326	68	TR, Newton (menționat)
    2 ianuarie	1923	326	113	TR (menționată)
    28 iulie	1923	228	25-30	TR, Einstein, lumină
    29 iulie	1923	228	52-53	TR, Einstein, gravitație
    29 iulie	1923	291	209-210	TR, Einstein, gravitație
    15 septembrie	1923	291	126-127	TR, Einstein
    16 noiembrie	1923	319	Î&R, 141	TR, proprietăți
    2 ianuarie	1924	316	25	TR (menționată)
    20 februarie	1924	352	Î&R, 152	Einstein, TR
    27 februarie	1924	352	175-191	Einstein, TR, Copernic, astronomie
    1 martie	1924	235	84-85	TR (menționată)
    16 aprilie	1924	309	64	TR, Einstein (menționat)
    30 aprilie	1924	300c	159-160	TR
    17 mai	1924	353	248	TR (menționată), astronomie
    20 iulie	1924	310	75-76	TR, Einstein, sunet
    22 iulie	1924	310	116	TR (menționată)
    19 august	1924	311	120-121	TR, Einstein

38. Acest pasaj face clar faptul că critica făcută de Steiner gândurilor lui Einstein nu are de-a face cu fundamentarea lor științifică, ci mai degrabă cu faptul că ele au fost aplicate contextelor și domeniilor de viața care nu mai pot fi atribuite exclusiv fizicii ca o știință anorganică.
39. Astronomul și fizicianul britanic Arthur Eddington (1882-1944) a condus un test experimental al prezicerii lui Einstein că razele de lumină sunt influențate de câmpurile gravitaționale (aberație gravitațională). Testul trebuia să măsoare schimbarea poziției aparente a stelelor fixe apropiate Soarelui în timpul unei eclipse solare. (Nota traducătorului: adică cu poziția apropiată de cea a Soarelui, poziție pe sfera cerească care este dată de două coordonate, de obicei unghiuri, fără să conteze distanțele până la Soare sau Pamânt. Procedeul constă în determinarea cu precizie a pozițiilor acelor stele cu coordonate cerești apropiate de cele ale Soarelui în timpul în care acesta este eclipsat total de către Lună. Aceste coordonate sunt apoi comparate cu coordonatele acelorași stele, măsurate în timpul în care Soarele se află, să spunem, în partea opusă a sferei cerești.) Două expediții britanice (una dintre ele pe coasta vestică a Africii, iar cealaltă în nordul Braziliei) au fost desemnate să fotografieze vecinătatea Soarelui în timpul eclipsei de Soare din 29 mai 1919 și să le compare cu pozițiile cunoscute ale stelelor. (Nota traducătorului: cele măsurate atunci când Soarele se afla în altă parte a cerului.) Rezultatul a fost publicat la 6 noiembrie 1919 și proclamat ca un triumf al teoriei lui Einstein. Devierea de la marginea discului solar, așa cum prezice teoria lui Einstein, era de aproximativ 1,75 secunde de arc. S-au ridicat imediat întrebări dacă acuratețea măsurătorilor era suficientă pentru a confirma teoria lui Einstein. Totuși obiecția lui Steiner are mai puțin de-a face cu inacuratețea tehnicilor de măsurare ale contemporanilor săi, care au fost mai târziu înlocuite pe măsură ce acest experiment și altele au fost repetate, cât cu o chestiune de principiu, și anume dacă o confirmare experimentală cantitativă, chiar foarte precisă, a unui model matematic teoretic constituie o garanție adecvată că modelul este adevărat sau corespunde realității.
    
    În comentariile sale asupra scrierilor de științe naturale ale lui Goethe, Istoria teoriei culorilor, partea I, diviziunea 6: Personalitatea lui Newton, Steiner scrie despre această problemă: „Judecățile matematice, ca oricare altele, sunt rezultatul anumitor presupuneri care trebuie acceptate ca adevărate. Dar pentru a aplica aceste presupuneri în mod corect experienței, aceasta trebuie să corespundă concluziilor acelui rezultat. Nu putem trage totuși concluzia opusă. Un fapt empiric poate să corespundă foarte bine concluziilor matematice la care am ajuns și totuși în realitate presupunerile care se aplică pot să nu fie cele ale unei cercetări științifice matematice. De exemplu, faptul că fenomenul interferenței și refracției luminii coincid cu concluziile teoriei ondulatorii a luminii nu înseamnă că ultima trebuie să fie adevărată. Este complet greșit să presupunem că o ipoteză trebuie să fie adevărată dacă faptele empirice pot fi explicate prin ea. Aceleași efecte se pot datora unor cauze diferite, iar justificarea pentru presupunerea pe care trebuie să o acceptăm trebuie demonstrată direct, și nu într-un mod ocolit prin folosirea consecințelor pentru a le confirma” (Știința goetheană, editată de Rudolf Steiner, vol. 4, GA 1d).
40. Vezi Einstein, Principiul relativității [1911]:
    
    „Situația este cât se poate de comică când ne imaginăm făcând acest ceas să zboare cu o viteză constantă (aproape egală cu c) și într-o direcție constantă. După ce a parcurs o distanță mare, îi dăm un impuls în direcția opusă, așa încât se întoarce la poziția inițială de unde a fost aruncat în spațiu. Descoperim apoi că arătătoarele abia dacă s-au mișcat în timpul acestei întregi călătorii, în timp ce arătătoarele unui ceas identic care a rămas nemișcat la punctul de plecare, pentru tot timpul, s-au mișcat considerabil. Trebuie să adăugăm că ceea ce este adevărat în cazul acestui ceas, introdus de noi ca reprezentativ pentru toate evenimentele din fzică, se aplică de asemenea oricărui sistem închis. De exemplu, un organism viu pe care îl așezăm într-o cutie și îl supunem aceleiași mișcări ca a ceasului ar trebui să rămână relativ neschimbat la întoarcerea la punctul inițial, după zbor, în timp ce un organism similar care rămâne în același loc ar trebui să dea de mult naștere la noi generații. Pentru un organism ce se mișcă aproximativ cu viteza luminii, timpul lung de călătorie s-ar însuma la doar un moment. Aceasta este o consecința de netăgăduit a principiilor de bază pe care ni le impune experiența ...
    
    Teoria relativității are mai multe concluzii importante pentru fizică, care trebuie menționate aici. Spunem că în conformitate cu teoria relativității un ceas care se mișcă funcționează mai încet decât unul identic care nu este în mișcare. Nu vom fi probabil niciodată în stare să folosim un ceas de buzunar pentru a verifica această afirmație pentru că viteza care poate fi imprimată unui ceas este minusculă în comparație cu viteza luminii. Totuși natura furnizează obiecte care au un caracter asemănător ceasului și care pot fi făcute să se miște foarte rapid, și anume atomii care produc liniile spectrale. Prin folosirea unui câmp electric acești atomi pot atinge viteze de câteva mii de kilometri pe secundă (raze canal). Conform cu teoria, este de așteptat ca influența mișcării acestor atomi asupra frecvenței lor de oscilație să fie similară cu ceea ce am dedus cu privire la ceasurile care se mișcă.”
    În mod clar, Einstein nu ezită să extindă teoria sa, care este bazată numai pe considerații aparținând domeniului fizicii, asupra obiectelor care nu aparțin doar acestui domeniu. Astfel, el pretinde implicit că teoria relativității nu cuprinde doar sisteme aparținând domeniului fizicii în sensul restrâns, ci că întregul Cosmos se supune acestei teorii. Această concepție relativ nediscriminatorie este principalul motiv al obiecțiilor severe ale lui Steiner la ceea ce el numește abstracționismul și lipsa realității în gândirea lui Einstein.
    
    Faptul că Einstein chiar alege să nu recunoască vreo diferență semnificativă între diferitele domenii ale realității reiese cu claritate dintr-un raport contemporan scris de Rudolf Lämmel (1879-1971), un fizician și înfocat popularizator al teoriei relativității a lui Einstein. În cartea sa, Die Grundlagen der Relativitätstheorie [1921], Lămmel spune:
    
    „Cea mai ciudată consecință a acestor noi idei ale teoriei relativității este aceasta: distanțele sunt mai scurte pentru observatorii aflați în repaus decât pentru cei care le parcurg. La fel, timpul petrecut pare a fi mai lung pentru un observator aflat «în repaus» decât pentru unul care călătorește odată cu ceasul [...]. Astfel, dacă trimitem astăzi o expediție în spațiu, călătorind cu jumătate din viteza luminii, când călătorii se întorc, cu aceeași viteză, după 11 ½ ani de absență, ei vor afirrna că au petrecut pe drum exact zece ani [...].
    
    Astfel, la întrebările «Cât de lungă este această distanță?» și «Cât de lungă este această durată?» nu se mai poate răspunde în termeni absoluți, ci doar în raport cu anumiți observatori, deci relativ. Această intuiție nu mai este doar o remarcă filosofică, ci o relație matematică confirmată.
    
    În conferințele sale de la Societatea de fizică și de la Societatea pentru cercetarea naturii din Zürich, Einstein a reluat exemplul de mai sus despre durata unei călătorii spațiale și a conchis că, în anumite circumstanțe, exploratorii și-ar putea găsi la întoarcere contemporanii de odinioară considerabil îmbătrâniți, în timp ce ei înșiși călătoriseră doar timp de câțiva ani. Acest autor contesta pretenția lui Einstein și afirma că concluzia se putea aplica la unitățile de măsură și la ceasuri, dar nu la ființe vii. Totuși Einstein a replicat că în ultimă instanță toate procesele care au loc în sângele nostru, nervii noștri ș.a.m.d. sunt oscilații periodice, deci mișcări. De vreme ce principiul relativității se aplică tuturor mișcărilor, concluzia despre îmbătrânirea inegală este de admis! ” (pp. 84 și urm.).
    
    Pentru mai multe detalii despre dezbaterea asupra teoriei relativității de-a lungul primelor decenii ale secolului al XX-lea, vezi studiile complete ale lui Hentschel [1990].
41. Chestiunea în cauză a devenit cunoscută mai târziu sub numele de „paradoxul gemenilor”. Vezi pasajul comparabil în întrebările și răspunsurile din 15 octombrie 1920.
42. Vezi nota 36, despre teoria eterului.
43. Vezi explicația completă dată de Steiner în conferința sa din 20 august 1915 (GA 164). Dacă formula s = c × t este interpretată ca o ecuație cu cantități, atunci este inevitabil să conchidem că t este de o dimensiune diferită de cea a lui s și c. În orice caz, t nu este în mod cert adimensional și nu asta este ceea ce a vrut să spună Einstein pentru că rezultatul ar fi fără sens în calculul dimensional al fizicii. Intenția lui Steiner nu este de a corecta calculul dimensional, ci mai degrabă de a semnala problema realității cantităților și calculelor care apar în fizică. În acest sens, nu poate fi atribuită nicio realitate cantității t, deși în formule ea trebuie să apară ca având o anumită dimensionalitate. „Timpul” t nu este un factor adimensional, ci unul fără realitate ‒ adică este un număr pur fără realitate.
44. Vezi următoarele pasaje despre viteză ca realitate în: întrebări și răspunsuri din 27 noiembrie 1913; conferințele din 20 august 1915 (GA 164), 26 decembrie 1919, 27 decembrie 1919 și 2 ianuarie 1920 (GA 320); întrebări și răspunsuri din 15 octombrie 1920; conferința din 6 ianuarie 1923 (GA 326).
45. În acest punct vezi Introduceri la scrierile de științe naturale ale lui Goethe de Rudolf Steiner (GA 1), capitolul XVI. 2, „Fenomenul originar”.
46. Steiner se referă aici la mișcarea neprotejată prin aer, și nu la călătoria în avioane sau vehicule asemănătoare. Vezi pasajele comparabile din conferințele sale din 7 august 1917 (GA 176); 25 septembrie 1919 (GA 300a); 27 iunie 1921 (GA 250f); 28 iunie 1921 (GA 205); 30 aprilie 1924 (GA 300c); 20 iulie 1924 (GA 310).

Stuttgart, 7 martie 1920

47. Răspunsuri la întrebări ridicate de Georg Herberg în timpul ciclului de conferințe Căldura la granița dintre spațiu și anispațiu. Impulsuri ale științei spirituale pentru dezvoltarea fizicii. Al doilea curs de științe naturale (GA 321).
48. Data acestei sesiuni de întrebări și răspunsuri nu poate fi stabilită cu precizie pe baza documentelor din arhiva Rudolf Steiner. Este improbabil ca întrebările să fi fost puse la 13 martie 1920 ‒ timpul atribuit lor de către Hans Schmidt în cartea sa Das Vortragwerk Rudolf Steiners, Dornach 1978, a doua ediție lărgită, p. 319 ‒ pentru că teoria relativității nu era menționată în niciuna din conferințele lui Steiner de la acea dată sau în conferința lui Eugen Kolisko despre „chimia liberă de ipoteze” de la aceeași dată. Felul în care a abordat Steiner întrebarea sugerează că ea poate aparține sesiunii precedente de întrebări și răspunsuri (7 martie 1920) care a avut loc după conferința lui Hermann von Baravalle Despre teoria relativității.
49. Cuvântul rotație din notițele documentului pare a fi fără sens în acest context și a fost înlocuit de cuvântul radiație.
50. Steiner se referă aici la fenomenul conductanței electrice în gazele rarefiate și în particular la razele catodice ‒ adică la fasciculele de electroni de mare viteză emiși de catodul unui tub vidat. Remarcile lui Steiner coincid cu concepția fizicienilor despre acest subiect.
    
    Energia cinetică care este atribuită electronilor individuali (cu sarcina electrică e) de către un câmp electric de voltaj U joacă un rol determinant în toate calculele referitoare la razele catodice. Mai mult, forța K (forța lui Lorentz) cu care este deviată o sarcină e într-un câmp magnetic B depinde de viteză:
    
    
    K = evB
    (Nota traducătorului: de fapt, este vorba despre produsul vectorial dintre vectorul viteză și vectorul câmpului magnetic. Formula amintită in text se referă la valorile absolute ale vectorilor și numai în cazul particular în care electronul intră în câmpul magnetic pe o direcție perpendiculară pe vectorul câmpului magnetic.)
    
    Despre subiectul razelor catodice vezi, de asemenea, conferința lui Steiner din 2 ianuarie 1920 (GA 320).
51. Formula lui Einstein stabilește proporționalitatea energiei cu materia inertă. Este adesea considerată cel mai important rezultat al teoriei speciale a relativității. Așa cum este cazul cu alte formule de bază din fizică, nu există demonstrații reale, dar în cel mai bun caz anumite justificări (vezi mai jos) ale formulei E= mc². Astfel, această formulă este văzută ca un postulat aflat la baza fizicii relativiste.
    
    Conform lui Einstein [1917], § 15, unde c este viteza luminii, energia cinetică a unui corp cu masa de repaus m mișcându-se cu viteza v este
    
    
    Dacă dezvoltăm în serie expresia de mai sus, Ekin pentru energie cinetică, rezultatul este
    
    
    Dacă v << c termenul rămânând în cazul limită nonrelativistic → 0 este mc² + mv
    
    Astfel, dacă e ca mecanica nonrelativistă să rezulte din mecanica relativistă, energia de repaus mc² trebuie adăugată la energia cinetică obișnuită mv² (pentru că în cazul limită  → 0)
    
    Aceasta nu schimbă cu nimic mecanica nonrelativistă pentru că mc² este o constantă care influențează numai punctul zero, convențional ales, al scalei energiei.
52. Acest pasaj în notițe este următorul: „...masa ei energia sunt numai noi deghizări ale vechii formule p.g. energie (energia potențială gravitațională)”. Nu a fost posibil să reconstruim înțelesul acestei formule, în cazul în care ea a fost corect înregistrată. Ceea ce s-a intenționat aici este probabil formula pentru energia potențială U a unui corp de masă m în câmpul gravitațional:
    
    U = mgz
    unde g este constanta gravitațională (nota traducătorului: valoarea accelerației gravitaționale, adică 9.81 m/s²), iar z este a treia coordonată (nota traducătorului: este vorba de câmpul gravitațional creat de Pământ, iar z este înălțimea la care se află corpul în cauză față de sol). De fapt, gândurile prezentate în nota 40 arată că E = mc² joacă rolul unui fel de energie potențială (energie de repaus), deși nu este în mod direct semnificativă pentru calculele din mecanica nonrelativistă.
53. Dacă p este interpretat ca forță în sensul de potentia, atunci formula W = p × s reprezintă lucrul mecanic W efectuat de o forță constantă p de-a lungul unei distanțe s.

Stuttgart, 11 martie 1920

54. Întrebările puse de Ernst Blümel (1884-1952) după conferința sa „Über das Imaginäre und den Begriff des Unendlichen und Unmöglichen” din 11 martie 1920. Blümel a predat matematica la școala de educație continuă de la Goetheanum și în prima școală Waldorf de la Stuttgart. Până in prezent nu a fost găsită nicio stenogramă a transcrierilor acestei conferințe.
55. Ernst Müller (1884-1954) matematician, scriitor ei savant în ebraică și cabalistică a ținut o conferință despre „Methoden der Mathematik” la Stuttgart, la 8 martie 1920. Până in prezent nu a fost găsită nicio stenogramă a conferinței lui Müller și nici vreo înregistrare a răspunsurilor lui Steiner la întrebarea lui.
56. Pentru discuții ulterioare despre metamorfoza oaselor lungi în oase ale capului vezi, de asemenea, conferințele lui Steiner din 1 septembrie 1919 (GA 293); 10 aprilie 1920 (GA 201); 1, 10, 11, 15 și 17 ianuarie 1921 (GA 323).
57. Despre realitatea numerelor imaginare vezi, de asemenea, conferințele lui Steiner din 12 martie 1920 (GA 321) și 18 ianuarie 1921 (GA 323).
58. Conferințe despre fizică: Rudolf Steiner, Căldura la granița dintre spațiu și anispațiu. Impulsuri ale științei spirituale pentru dezvoltarea fizicii. Al doilea curs de științe naturale (GA 321). Vezi îndeosebi conferințele din 10 și 11 martie 1920.
59. Compară pasajele care urmează cu conferințele lui Steiner din 12 și 14 martie 1920 (GA 321). O colecție de materiale cu privire la un experiment despre curbarea spectrului prin folosirea unui magnet puternic poate fi găsită in Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, vol. 95/96, 1987.
60. O variantă a textului spune: „Roșul conform poziției iese în afară”.
61. Vezi explicațiile lui Steiner despre eter ei spațiul negativ în conferințele sale din 8, 15 și 18 ianuarie 1921 (GA 323); sesiunea de întrebări și răspunsuri din 7 aprilie 1921 (GA 76); conferințele din 8 și 9 aprilie 1922 (GA 82) și întrebările și răspunsurile din 12 aprilie 1922 (GA 82).
62. În timpul unei conferințe ținute la 11 mai 1917 (GA 174b), Rudolf Steiner vorbește despre o experiență personală în timpul unui curs la Universitatea din Viena. Conform cu cele spus de Steiner, Leo Königsberger (1837-1921), un bine-cunoscut matematician al momentului, a respins conceptul numerelor hipercomplexe deoarece acestea ar conduce la divizori ai lui zero. Așa cum numerele complexe câștigau încet recunoaștere, numerele hiperimaginare sau hipercomplexe erau doar în silă acceptate de matematicieni. Diferența de opinie dintre adepții calculului cu quaternioni, datând de la William Rowan Hamilton (1805-1865), și adepții analizei vectoriale dezvoltată de Oliver Heaviside (1850-1925) și Josiah Gibbs (1839-1903) forma fundalul dezbaterilor la care face Rudolf Steiner aluzie aici. La început, analiza vectorială a câștigat întâietate în aplicațiile practice din cauza progresului în fizica teoretică care a însoțit dezvoltarea sa. Totuși aproximativ în același timp dezvoltarea algebrei abstracte a dus la descoperirea și clasificarea diferitelor sisteme de numere hipercomplexe. Pentru mai multe informații asupra dezbaterii sus-menționate, vezi Schouten [1914] (introducere) și Crowe [1967]. Despre istoria descoperirii și rafinării sistemelor de numere hipercomplexe, vezi Van der Waerden [1985]; despre matematica numerelor hipercomplexe vezi Ebbinghaus și alții [1988], partea B. Acestea și alte sisteme generalizate de numere au multe aplicații în fizica modernă teoretică; vezi Gschwind [1991] și Bibliografia acestei cărți.
63. În conferința sa din 11 mai 1917 (GA 174b), Rudolf Steiner spune că a devenit conștient de problema matematică a divizorilor lui zero în timpul unei conferințe ținute de Leo Königsberger. Divizorii lui zero sunt numere generalizate al căror produs este zero, deși numerele nu sunt egale cu zero. (Nota traducătorului: se știe că factorii unui produs de numere întregi sunt divizori ai numărului rezultat prin înmulțire și că în general dacă un produs de numere reale este egal cu zero atunci este obligatoriu ca măcar unul dintre factorii produsului să fie egal cu zero. Această afirmație este aproape de la sine înțeleasă în cazul numerelor reale. Există însă posibilitatea de a „dota” mulțimea numerelor reale sau complexe cu alte legi de „compoziție”, adică cu altă adunare, cu altă înmulțire decât cele cu care suntem noi obișnuiți. În asemenea cazuri, e posibil ca rolul elementului neutru la adunare, adică ceea ce noi numim zero, să fie jucat de alte numere. Aceeași situație apare atunci când avem de-a face cu „numere” exotice și nu numai cu legi de compoziție exotice. Mai mult, există cazuri în care noua lege de „înmulțire” să ducă la situația bizară în care „produsul” a două astfel de „numere” exotice să fie „zero” deși fiecare din cei doi factori ai „produsului” sunt diferiți de „zero”. Astfel de „numere” se numesc divizori ai lui zero.) Königsberger menționează această problemă în prima conferință din cartea sa Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Funktionen [1874], pp. 10-12, unde vorbește despre existența numerelor hipercomplexe: „Presupunând că valabilitatea regulilor de calcul obișnuite pentru toate cantitățile aritmetice rămâne o condiție care trebuie îndeplinită, dacă cantitățile de acest gen pot fi încorporate în calcule pur aritmetice, calcule care le implică și care sunt făcute conform regulilor stabilite pentru numerele discutate anterior, atunci trebuie să conducă la rezultate care să nu contrazică teoremele principale ale aritmeticii care au fost descoperite pentru numere reale și complexe imaginare. (Nota traducătorului: în realitate un număr complex este o pereche ordonată de numere reale [a,b]. Aceste „numere” se pot compune folosind o lege de adunare și una de înmulțire definite în mod special, și anume:
    [a,b]*[c,d] = [a+b,c+d] (adunarea)
    [a,b]×[c,d]=[a∙c−b∙d,a∙d+b∙c] (înmulțirea),
    unde „+” este adunarea obișnuită iar „∙" este înmulțirea obișnuită, folosite în mulțimea numerelor reale.
    Astfel, folosind aceste legi de compoziție, se poate dovedi cu ușurință că orice număr complex [a,b] se poate scrie astfel:
    [a,b] = [a,0]*[b,0]x[0,1].
    Apoi s-a observat că asupra numerelor de tipul [x,0] noile legi au efectul pe care îl au legile de adunare și înmulțire obișnuite asupra numerelor reale x. Într-adevăr:
    [x,0]*[y,0] = [x+y,0]
    [x,0]×[y,0] = [x∙y−0∙0,x∙0+0∙] = [x∙y,0]
    Ca urmare se pot asocia-identifica numerele complexe de tipul [x,0] cu numerele reale x.
    Pe de altă parte:
    [0,1]×[0,1] = [−1,0]
    care, în virtutea aceleași asocieri, este identificat cu −1. În mulțimea numerelor reale nu există niciun număr cu proprietatea că înmulțit cu el însuși îl furnizează pe −1. De aceea [0,1 ] este numit număr imaginar și este notat cu i.
    Ca urmare:
    [a,b] = a * b × i,
    unde i² = −1.
    În calcule este folosită această formă a numărului complex utilizându-se semnul + în loc de *.)
    
    Astfel, în conformitate cu regulile pentru expresii pluriparticulate, înmulțirea a două numere de același tip dă naștere unui număr de același tip, iar produsul nu poate dispărea (nu poate deveni zero) decât dacă unul din factori devine zero.”
    
    Pasajul care urmează demonstrează concret că produsul a două asemenea numere hipercomplexe poate să dispară într-adevăr fără ca unul dintre factori să fie egal cu zero, „ceea ce contrazice regula de bază pentru numere reale după care un produs nul se poate obține numai dacă dispare unul dintre factori”. Mai târziu, Steiner a primit o copie a articolului lui Oskar Simony Über zwei universelle Verallgemeinungen der algebraischen Grundoperationen [1885], cu o dedicație personală a autorului. Simony discută problema existenței divizorilor lui zero chiar la începutul articolului său care este dedicat construcției concrete a două sisteme de numere hipercomplexe, dintre care unul include divizori ai lui zero ([1885], §8). Materiale adiționale despre acest subiect pot fi găsite în Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, vol. 114/115, Dornach, 1995, p. 5. Lucrarea lui Schouten [1914], de asemenea cu o dedicație personală pentru Rudolf Steiner, include o introducere la sistemele de numere hipercomplexe (pe care Schouten le numește sisteme asociative); divizorii lui zero sunt menționați la p. 15.
64. Vezi cercetările lui Gschwind [1991] și lista referințelor pentn lectură ulterioară.
65. În transcrierile dactilografiate apare „paralelepopode rotaționale”, termen care nu există în matematică și asta se datorează une greșeli în transcriere. Din context pare improbabil ca termenul de mai sus să fi fost intenționat. În toate stenogramele pe care le-a primit arhiva termenul „paralelepopode” a fost tăiat și înlocuit cu „paraboloizi” (scris de mână). Paraboloizii de rotație sunt suprafețe care rezultă din rotirea unei parabole în jurul axei sale de simetrie. Această interpretare a stenogramelor ridică problema modului în care s-ar putea face o legătură între asemenea suprafețe și conurile care se rotesc. Fără a aprofunda problema în amănunțime, Gschwind [1991] a avut bune motive să decidă și să bazeze pe aceste spuse concluzii importante și fructuoase. Și anume, el a demonstrat o relație între asemenea suprafețe și numerele hipercomplexe. Material suplimentar cuprinzător poate fi găsit în Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, vol. 114/115, Dornach, 1995, pp. 5-7.
66. E de presupus că Steiner se referă aici la problema din teoria numerelor de a găsi numerele întregi a, b și c care sunt soluții pentru ecuația a² + b² = c². Asemenea numere sunt cunoscute ca triplete pitagoreice. Algoritmii pentru găsirea tuturor soluțiilor acestei ecuații ‒ adică toate tripletele pitagoreice ‒ au fost cunoscuți încă din Antichitate.
67. Apelul lui Rudolf Steiner pentru stabilirea unei fundații a aritmeticii și algebrei independentă de geometrie fusese reluată la sfârșitul secolului al XIX-lea când tendința de a aritmetiza matematica a mers uneori prea departe, în așa fel încât amenința să înlocuiască geometria. A fost una din cele mai importante realizări ale secolului al XX-lea, deși la început a rămas o problemă internă a matematicii. S-a scurs ceva timp înainte ca această dezvoltare să-și găsească drumul său în manuale și în predarea matematicii.
68. Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matematician la Göttingen care a explicat numerele negative ca simple opuse ale numerelor pozitive. El și-a explicat punctele sale de vedere despre acest subiect în a sa Theoria Residuorum Biquadraticorum [1831], pp. 175 și urm.: „Numerele pozitive și negative pot avea o explicație numai acolo unde uniunea dintre ceva numărat și opusul său anulează cantitatea. Vorbind precis, această condiție esențială nu se aplică când sunt implicate substanțe (adică obiecte care pot fi imaginate ca fiind de sine stătătoare), ci doar în relațiile dintre obiectele care sunt enumerate. Este postulat că aceste obiecte sunt aranjate în șiruri ca de exemplu A, B, C, D, ..., și că relația dintre A și B poate fi considerată aceeași ca cea dintre B și C ș.a.m.d. În acest caz conceptul de opus nu înseamnă nimic mai mult decât să inversăm membrii într-o relație, așa încât dacă relația dintre (sau tranziția de la) A și B este +1, relația dintre B și A poate fi descrisă ca −1. În măsura în care un asemenea șir nu are limite în niciuna dintre direcții, fiecare număr real întreg reprezintă relația dintre un membru care a fost ales arbitrar ca fiind începutul și un altul al șirului.” Vezi, de asemenea, discuția în Kowol [1990], pp. 88 și urm.
69. Eugen Dühring (1833-1921), filosof și autor de cărți de economie politică. Vezi în mod special cartea scrisă împreună cu fiul său Ulrich [1884], care conține o critică aspră la adresa definiției lui Gauss a numerelor negative. Conform cu concepția lui Dühring, contrastul sau opoziția care caracterizează numerele negative rezultă dintr-o scădere neefectuată, pe care ei o văd ca pe singurul aspect esențial al numerelor negative. Vezi [1884], p. 16: „Caracteristica incisivă a unui număr negativ izolat este aceea că nu rezultă doar dintr-o operație numerică în care scăderea nu mai poate fi continuată, ci indică, de asemenea, o operație în care poate fi pusă în aplicare scăderea. Trebuie să distingem cu grijă între aceste două operații ‒ sau, dacă vreți, aceste două părți ale unei operații generale.” Pentru comparație între vederile lui Gauss și cele ale lui Dühring despre numerele negative, vezi Kowol [1990], pp. 88 și urm.
70. Despre concepția lui Dühring asupra numerelor complexe vezi E. și U. Dühring [ 1884], capitolele 2-4 și 13. O discuție despre gândurile lui Dühring comparate cu alte încercări de a trata această chestiune pot fi găsite în Kowol [ 1990], pp. 118 și urm. și 122 și urm.
71. Vezi E. și U. Dühring [ 1884], capitolele 4, 12, 14 și 15.

Stuttgart, 11 martie 1920

72. Sesiunea de întrebări și răspunsuri din timpul ciclului de conferințe Căldura la granița dintre spațiu și anispațiu. Impulsuri ale științei spirituale pentru dezvoltarea fizicii. Al doilea curs de științe naturale (GA 321). Alexander Strakosch (1879-1958), inginer de căi ferate și profesor la prima școală Waldorf din Stuttgart, a pus aceste întrebări după ce a ținut o conferință despre „Figurile matematice ca o verigă intermediară între arhetip și copie” la Stuttgart, 11 martie 1920. Până acum nu a fost găsită nicio stenogramă a acestei conferințe.
73. Despre relațiile dintre arhetip și imagine în contextul matematicii, vezi, de asemenea, eseul lui Rudolf Steiner despre „Matematică și ocultism” din Filosofie și antroposofie (GA 35).
74. În conferința din 5 martie 1920 (GA 321). Pentru discuții ulterioare despre evoluția conceptelor geometrice și matematice care apar din natura volitivă a ființei umane, vezi, de asemenea, conferințele lui Rudolf Steiner din 3 ianuarie 1920 (GA 320); 29 septembrie 1920 (GA 322), 16 martie 1921 (GA 324) și 26 decembrie 1922 (GA 326).
75. Pentru alte discuții despre geometria fluidă sau mobilă, vezi, de asemenea, conferința lui Rudolf Steiner din 20 ianuarie 1914 (GA 151).
76. Pentru mai multe informații despre relația dintre planele sau regiunile lumii spirituale și dimensiunile superioare, vezi, de asemenea, conferințele lui Rudolf Steiner din 17 mai și 7 iunie 1905, sesiunea de întrebări și răspunsuri din 7 aprilie 1921 (GA 76) și 12 aprilie 1922 (GA 82) și conferințele din 19, 20, 22 și 26 august 1923 (GA 227).
    
    Ernst Blümel (1884-1952), matematician și profesor. Vezi Renatus Ziegler, Notizen zur Biographie des Mathematikers und Lehrers Ernst Blümel, Dornach, 1995, în Arbeitshefte der Mathematisch-Astronomischen Sektion am Goetheanum, Kleine Reihe, Heft 1 (Serii scurte, Nr. 1).

Stuttgart, 30 martie 1920

77. Sesiunea de întrebări și răspunsuri după conferința lui Eugen Kolisko despre „Antroposofie și chimie” în timpul conferinței despre „Antroposofie și științele specializate” ținută la Goetheanum din 21 martie până în 7 aprilie 1920.
    
    Eugen Kolisko (1893-1939) era fizician și a predat la prima școală Waldorf din Stuttgart. Până acum nu s-a găsit nicio stenogramă a acestei conferințe. Vezi raportul scurt despre conferință în jurnalul Dreigliederung des sozialen Organismus, vol.l, 1919/1920, nr. 45.
78. Goethe, Zur Farbenlehre [1810] și Der Versuch als Vermittler von Object und Subject [1823]. Vezi Rudolf Steiner, Introduceri la scrierile de științe naturale ale lui Goethe (GA 1), capitolele X și XVI; Linii fundamentale ale unei teorii a cunoașterii în concepția goetheană despre lume (GA 2), capitolul 15; capitolul din Goethes Weltanschauung (GA 6) intitulat Die Erscheinung der Farbenwelt.
79. Descoperirea geometriilor neeuclidiene a arătat că geometria euclidiană nu era singura geometrie imaginabilă. Ca urmare, întrebarea care geometrie se aplică spațiului pe care îl experimentăm a devenit o problemă epistemologică pentru științe. Mai mult despre impactul descoperirii geometriilor neeuclidiene în conferințele lui Rudolf Steiner din 26 august 1910 (GA 125); 20 octombrie 1910 (GA 60); 3 ianuarie 1920 (GA 320); 27 martie 1920 (GA 73a); 1 și 7 ianuarie 1921 (GA 323); 5 aprilie 1921 (GA 76). Despre importanța descoperirii geometriei neeuclidiene în istoria conștienței vezi Ziegler [ 1987]. Despre istoria acestei descoperiri vezi Bonola/Liebmann [1919]; Klein [1926], capitolul 4; Reichardt [1976]. Despre relațiile axiomelor, fenomenelor arhetipale și experiență vezi Ziegler [1992], capitolele VII și VIII.
80. Într-o geometrie eliptică ca aceea a lui Riemann (Riemann [1867]), măsura curburii matricei este mai mare decât 1, iar suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mare decât 180°. În geometria hiperbolică aceasta este mai mică decât 1 iar suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mică decât 180°, Relația spațiilor sau varietăților cu curbură constantă față de geometriile neeuclidiene a fost descoperită de Eugenio Beltrami (1835-1900) și Bernhard Riemann (1826-1866). În contrast cu geometria euclidiană (teorema lui Pitagora), măsurarea unui asemenea spațiu este determinată de o funcție de coordonate. În general, această funcție nu mai este o sumă de pătrate. (Nota traducătorului: se referă la măsurarea distanței dintre două puncte A și B de coordonate (x₁, y₁, z₁), respectiv (x₂, y₂, z₂), în spațiul euclidian tridimensional, și anume d² (A,B) + (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)² formulă care se obține din și se bazează pe teorema lui Pitagora, fiind de fapt nimic altceva decât o altă formă a ei, generalizată în spațiu. Ceea ce vrea să se spună în propoziția anterioară este că, în spații sau varietăți a căror geometrie intrinsecă nu este cea euclidiană, formula care măsoară distanța dintre două puncte din spațiul respectiv nu mai are această formă simplă.) Despre acest subiect vezi Klein [1927], capitolul 3C și Scholz [1980], capitolul III.
81. Vezi Simony [1888b], §5; [1883]; [1886].

Stuttgart, 31 martie 1920

82. Întrebările și răspunsurile după conferința lui Karl Stockmeyer despre „Antroposofie și fizică” din timpul conferinței despre „Antroposofie și științele specializate” ținută la Goetheanum, la Dornach, din 21 martie până în 7 aprilie 1920.
    
    Ernst August Karl Stockmeyer (1886-1963) a fost profesor la prima școală Waldorf din Stuttgart. Până acum nu s-a descoperit nicio stenogramă a acestei conferințe. Vezi scurtul raport despre conferință din jurnalul Dreigliederung des sozialen Organismus, vol.1, 1919/1920, nr. 45.
83. Vezi întrebările și răspunsurile din 30 martie 1920 și conferințele lui Steiner din 27 martie 1920 (GA 73a), 3 ianuarie 1920 (GA 320).
84. Bernhard Riemann (1826-1866), pe care îl menționează adesea Steiner, tipizează această tendință. Vezi, de asemenea, nota 1, conferința I, despre Bolyai, Gauss și Riemann.
85. Vezi începutul sesiunii de întrebări și răspunsuri din 11 martie 1920 (întrebările lui E. Blümel) și notele însoțitoare.
86. Vezi sesiunea de întrebări și răspunsuri din 11 martie 1920.
87. Spusele lui Goethe chiar de la începutul Prefeței la Zur Farbenlehre [1810]:
    
    „Atunci când se analizează subiectul culorilor apare întrebarea foarte naturală dacă lumina ar trebui discutată în primul rând. Răspunsul scurt și onest cu privire la această întrebare este acela că s-au spus atât de multe despre lumină, și atât de des, că pare discutabil să se repete sau să se adauge ceva la ceea ce s-a spus.
    
    Pentru că de fapt încercarea noastră de a exprima natura esențială a a unui lucru este în van. Devenim conștienți de efectele unei ființe și o relatare completă a lor cuprinde probabil întreaga ei natură esențială. Eforturile noastre de a descrie caracterul unei persoane sunt toate în van, dar dacă prezentăm toate acțiunile și faptele sale, va rezulta o imagine a caracterului ei.
    
    Culorile sunt faptele luminii, faptele și suferințele ei. În acest sens putem să așteptăm de la ele să ne furnizeze concluzii despre lumină; culorile și lumina sunt înrudite foarte precis, dar trebuie să le considerăm pe amândouă ca aparținând Naturii și numai Natura încearcă să se reveleze simțului văzului.”
88. Editorii versiunii germane, observând că contextul cere semnificația de „control” sau „înțelegere”, au substituit cuvântul Beharrung (perseverență), care apare de multe ori în manuscrisele dactilografiate ale notelor stenografice, aici și în altă parte în conferință, cu cuvântul Beherrschung (control).
89. Vezi, de asemenea, conferința lui Rudolf Steiner din 30 martie 1920 (GA 312) și sesiunea de întrebări și răspunsuri care a avut loc la aceeași dată.
90. Goethe, Zur Farbenlehre [1810J, secțiunea 6, Sinnlich-sittliche Wirkung der Farbe, §758-920.
91. Max Planck (1858-1947), fizician teoretician din München, Köln și Berlin. Ipoteza unui eter cvasimaterial care servea ca mediu pentru procesele și fenomenele electrice își avea rădăcinile în gândirea lui Isaac Newton (1642-1727) și René Descartes (1596-1650). Acest tip calitativ de eter a făcut posibilă interpretarea proceselor ale căror mecanisme mult mai precise nu erau înțelese. Caracteristica principală a ipotezei eterului a secolului al XIX-lea era cuantificabilitatea, care făcea posibilă încorporarea unor asemenea procese în teoriile matematice despre fenomenele fizicii. Vezi, de asemenea, începutul sesiunii de întrebări și răspunsuri din 7 martie 1920 și notele corespunzătoare.
    
    Spusele exacte ale formulării lui Planck nu au fost găsite. Planck accentuează [1910] totuși: „Eu cred că nu voi întâmpina vreo opoziție serioasă printre fizicieni dacă voi rezuma situația după cum urmează: Presupunerea că ecuațiile diferențiale simple ale lui Maxwell-Hertz sunt pe deplin valide pentru procesele electrodinamice în eterul pur exclude posibiltatea de a le explica mecanic” (p. 37). Mai târziu el spune: „La fel este cu certitudine corect să afirmăm că primul pas spre descoperirea principiului relativității al lui Einstein coincide cu întrebarea despre ce fel de relație trebuie să existe între forțele naturale de vreme ce este imposibil să se atribuie vreo proprietate eterului luminii ‒ adică dacă undele de lumină se transmit prin spațiu fără vreo conexiune cu un vehicul material. În acest caz, desigur, ar fi imposibil să definim ‒ ca să nu mai vorbim de a măsura ‒ viteza unui corp în raport cu eterul luminii. Nu e nevoie să accentuez că concepția mecanică asupra naturii este incompatibilă cu această concepție. Astfel, oricine vede acest punct de vedere ca postulat al fizicii nu se va simți niciodată confortabil cu teoria relativității. Aceia care sunt mai flexibili în judecățile lor vor întreba totuși unde ne conduce acest principiu” (p. 39).
92. Vezi sesiunea de întrebări și răspunsuri din 11 martie 1920 și notele corespunzătoare.
93. Compară acest pasaj cu următoarele de la sesiunea de întrebări și răspunsuri din 11 martie 1920 (Blümel) și 15 ianuarie 1921, cu notele corespunzătoare.
94. Comentarii asupra dezbaterii din jurul conceptului de numere negative pot fi găsite la sfârșitul sesiunii de întrebări și răspunsuri din 11 martie 1920 (Blümel). Vezi Kowol [1990], capitolul IVB.

Stuttgart, 15 octombrie 1920

95. Sesiunea de întrebări și răspunsuri din timpul unei „conversații despre știința spiritului”, în contextul conferințelor antroposofice din 26 septembrie până în 16 octombrie 1920, la Goetheanum, în Dornach. Conferințele introductive ale lui Rudolf Steiner la Granițe ale cunoașterii naturii au fost ținute din 27 septembrie până în 3 octombrie 1920 și au apărut în GA 322. Multe conferințe ținute de alți participanți au fost tipărite în Aenimagtisches aus Kunst und Wissenschaft, vol. I și II, Stuttgart, Der Kommende Tag Verlag 1922 (disponibile la librăria de la Goetheanum) sau în Kultur und Erziehung, Stuttgart, Der Kommende Tag Verlag, 1921 (disponibilă la librăria de la Goetheanum). Vezi, de asemenea, anunțul conferinței care include un program detaliat în periodicul Dreigliederung des sozialen Organismus, vol. 2, 1920/1921, nr. 9. Rapoarte ale acestei conferințe de Alexander Strakosch și Günther Wachsmuth au apărut în același periodic (nr. 15, 16 și 18).
96. Conform lui Ptolemeu (Claudius Ptolemeus, aprox. 100-170), structura de bază a sistemului solar era geocentrică, cu așezarea Pământului în centrul său. În opera sa de căpătâi, Almagest, Ptolemeu folosește o construcție complicată de cercuri concentrice pentru a explica în detaliu mișcările planetare. (Vezi Ptolemeu [1962]; Ziegler [1976]; Teichmann [1983], capitolul 3.2; Van der Waerden [1988], capitolul XIX.) Cu privire la orbitele planetare care rezultă din combinația mișcărilor circulare, nu se schimbă nimic esențial prin trecerea de la sistemul ptolemaic geocentric la sistemul copernican heliocentric, cu excepția faptului că Soarele și Pământul schimbă locurile, ceea ce corespunde unei simple transformări geometrice. Mai mult, atât argumentele lui Ptolemeu cât și ale lui Copernic sunt în mod esențial cinematice (Steiner ar fi spus „phoronomice”) ‒ adică ei nu iau în considerare relațiile forțelor. Vezi Vreede [1980], capitolul 3, și Neugebauer [1983], secțiunea 40.
    
    În lucrarea sa de căpătâi, De Revolutionibus Orbium Coelestium, 1543, vol. 1, capitolul 11, Nicolaus Copernicus (1473-1543) separă mișcarea Pământului în trei componente (vezi Copernic [1879], pp. 28 și urm. sau [ 1990], pp. 139 și urm.). Prima mișcare este cea a rotației zilnice a Pământului în jurul axei sale, a doua este mișcarea sa pe o orbită excentrică în jurul Soarelui, iar a treia mișcare este „mișcarea în declinație”. Copernic o formulează în felul următor:
    
    „De vreme ce multe fenomene planetare importante depun mărturie că Pământul se mișcă vom descrie această mișcare în termeni generali, în măsura în care confirmă fenomenele, ca pe o ipoteză. Trebuie să presupunem că această mișcare este tripartită: prima mișcare, pe care grecii o numeau nychthemerinon, diurn-nocturnă, este actuala succesiune a zilei și nopții, care se petrece în jurul axei Pământului de la vest la est în același fel în care se credea că se mișcă Pământul în sens opus. Această succesiune definește cercul echinocțial sau Ecuatorul, pe care unii îl numesc cercul zilelor egale, imitând pe greci care l-au numit isemerinos, de zile egale. A doua este mișcarea anuală a centrului Pământului și sateliților săi prin zodiac, în jurul Soarelui de la vest la est ‒ adică în sens direct ‒, între Venus și Marte. Rezultatul acestei mișcări, așa cum am spus, este acela că Soarele însuși pare să facă o mișcare similară prin zodiac, așa încât atunci când Pământul (centrul lui) se mișcă prin Capricorn, Vărsător ș.a.m.d. Soarele pare că se mișcă prin Cancer, Leu ș.a.m.d. Trebuie să ne imaginăm că înclinarea Ecuatorului și axa Pământului variază în raport cu planul cercului care trece prin centrul semnelor zodiacale. Dacă înclinarea ar fi constantă și s-ar mișca numai punctul central nu ar apărea nicio schimbare în lungimea zilelor și nopților și am avea întotdeauna sau solstițiu de vară sau solstițiu de iarnă sau un echinox ‒ în orice caz un anotimp neschimbător. Astfel, a treia mișcare, sau mișcarea în declinație, se petrece anual, dar în sens opus mișcării punctului central (Pământul). Ca rezultat al acestor două mișcări opuse dar aproape egale, axa Pământului, și astfel și Ecuatorul ‒ cel mai mare cerc-paralelă ‒, rămân îndreptate către aproape aceeași zonă de cer, ca și când ar fi imobile, în timp ce Soarele, datorită mișcării progresive a centrului Pământului, pare să se miște prin planul oblic al zodiacului într-un fel care nu este diferit de ceea ce ar face dacă Pământul ar fi în centrul sistemului solar, dacă ne amintim numai că distanța de la Soare la Pământ, în sfera stelelor fixe, a depășit deja capacitatea noastră de percepție” (Copernic [1879], pp. 28 și urm.).
    
    Rudolf Steiner pare să fi inversat ordinea celor două legi menționate de Copernic în De Revolutionibus. Totuși citatul de mai sus este cel pe care îl folosește și Copernic în discutarea celor trei mișcări ale Pământului în De Hypothesibus Motuum Coelestium a se Constitutus Commentariolus, numită de asemenea mai simplu Commentariolus, publicată în 1514. (Vezi Copernic [1948], pp. 12 și urm. sau [1990], pp. 9 și urm.).
    
    În pasajele care urmează am păstrat succesiunea lui Steiner a celor trei legi.
    
    1. Mișcarea anuală a Pământului în jurul Soarelui pe o orbită excentrică.
    2. Mișcarea zilnică a Pământului în jurul axei sale.
    3. Mișcarea în declinație: axa Pământului descrie un con, mișcându-se în sensul opus mișcării de revoluție în jurul Soarelui. (Nota traducătorului: așa cum am spus într-o notă anterioară, poziția unei stele pe sfera cerească geocentrică, sferă imaginată ca având centrul în centrul Pământului și rază arbitrară, este dată de două coordonate sferice. Există mai multe sisteme de astfel de coordonate folosite în astronomia de poziție. Unul dintre ele se numește sistem de coordonate ecuatorial, format din ascensiunea dreaptă și declinația, ambele unghiuri, primul, asemănător longitudinii, fiind măsurat spre est de-a lungul Ecuatorului ceresc, față de punctul vernal ‒ adică punctul în care răsare Soarele primăvara ‒, iar al doilea, adică declinația, asemănător latitudinii, este măsurat spre polul nord ceresc [în sens pozitiv] sau spre polul sud ceresc [în sens negativ], față de Ecuatorul ceresc.)
97. În sens geometric sau cinematic, prima mișcare (dacă este considerată în izolare, ignorând a doua și a treia mișcare) este revoluția Pământului în jurul Soarelui. Observați că axa Pământului nu rămâne paralelă cu ea însăși ‒ cu excepția unui caz special când axa este paralelă cu axa rotației, ceea ce nu este cazul aici. În loc să fie paralelă, raportată la centrul Pământului ea descrie un con. (Nota traducătorului: nu este vorba de un con cu vârful în centrul Pământului, de vreme ce acesta este el însuși în mișcare.) Cu alte cuvinte, intersecția prelungirii axei Pământului cu o linie perpendiculară pe planul orbitei excentrice a Pământului (nota traducătorului: se referă la axa conului) este un punct fix al acestei mișcări . Dacă ar exista această mișcare, nu ar fi posibilă nicio schimbare a anotimpurilor pentru că poziția Pământului față de Soare ar fi tot timpul aceeași.
    
    Ca urmare, Copernic a trebuit să introducă o altă mișcare pentru a explica fenomenul schimbării anotimpurilor, pe de o parte, și precesia (deplasarea punctului vernal) pe de altă parte. (Nota traducătorului: deplasarea la care se face referire este pusă astfel pe seama sus-numitei „mișcări în declinație” care face ca cercul ecuatorial să alunece pe cercul eclipticii în sens retrograd, asemenea unui titirez dezechilibrat. Fenomenul este cunoscut sub numele de precesia anotimpurilor. În fiecare an Soarele răsare primăvara cu aproximativ patru secunde de arc în spatele poziției în care a răsărit în anul precedent.) „Mișcarea în declinație”, a treia mișcare în ordinea lui Steiner, servea acestui scop. Această mișcare constă în rotația anuală a axei Pământului în sens opus mișcării în jurul Soarelui. Prin aceasta, rotația axei Pământului produsă de cea de a doua mișcare devine retrogradă, și în plus apare ușorul exces care explică precesia.
98. Cel târziu în 1783 faptul că Soarele însuși se mișcă a fost recunoscut când William Herschel (1783-1822) a descoperit mișcarea acestuia (numită mișcarea apexului) în direcția constelației Hercule. (Vezi Wolf [1891-1893], §292.)
99. Rudolf Steiner a vorbit adesea despre spirala sau mișcarea de șurub a Pământului în timp ce urmărește mișcarea Soarelui; vezi, de exemplu, conferințele sale din 24 și 31 martie 1905. Începând cu conferința sa din 1 septembrie 1906 (GA 95), el a legat adesea cea de a treia mișcare copernicană cu propria sa descriere a problemei mișcărilor Soarelui și Pământului. Din 1916 încolo el a adăugat aspectul unei calități progresive de lemniscată a mișcării. (Pentru o vedere de ansamblu a acestei probleme vezi Vreede [1980], Über das Kopernikanische System, pp. 349 și urm.)
    
    Următoarea listă include marea majoritate a conferințelor și sesiunilor de întrebări și răspunsuri (Î&R) în care Steiner discută problema mișcărilor Soarelui și Pământului, în mod special cea de a treia mișcare copernicană (Copernic 3), corecțiile lui Bessel și/sau problema mișcărilor spiralate sau pe lemniscată (∞) ale Soarelui și Pământului. Cele din 1 octombrie 1916 (GA 171); 10 aprilie 1920 (GA 201); 2 și 17 ianuarie 1921 (GA 323).
    
    

    Conferința	Anul	GA	Conținutul
    24 martie	1905	324a	Linia elicoidală
    31 martie	1905	324a	Linia elicoidală
    1 septembrie	1906	95	Copernic 3
    16 septembrie	1907	101; 284/285	Copernic 3
    29 aprilie	1908	98	Copernic 3, linia elicoidală
    7 noiembrie	1910	124
    21 martie	1913	145	Circulația sangvină și inima
    5 mai	1914	286	Linia elicoidală
    13 iulie	1915	159	Circulația sangvină și inima
    20 august	1916	272	Copernic 3
    1 octombrie	1916	171	∞
    28 mai	1918	-	Copernic 3, Bessel
    4 septembrie	1919	295	Copernic 3, Bessel
    25 septembrie	1919	300a	Copernic 3, Bessel
    26 septembrie	1919	300a	Spirala
    28 septembrie	1919	192	Copernic 3, Bessel
    3 octombrie	1919	261	Copernic 3, Bessel
    3 octombrie	1919	191	Copernic 3, Bessel
    10 aprilie	1920	201	Spirala progresivă
    11 aprilie	1920	201	Circulația sangvină și inima
    18 aprilie	1920	201	∞, Copernic 3
    1 mai	1920	201	Bessel, lemniscata progresivă
    2 mai	1920	201	Lemniscata progresivă
    15 octombrie	1920	324a	Î&R, Copernic 3, Bessel
    2 ianuarie	1921	323	Copernic 3
    11 ianuarie	1921	323	∞, lemniscată
    12 ianuarie	1921	323	∞, orbite planetare lemniscate
    17 ianuarie	1921	323	lemniscată de rotaxie, Bessel
    18 ianuarie	1921	323	∞
    26 august	1921	324a	Î&R, Copernic 3
    8 octombrie	1921	343	Copernic 3
    5 ianuarie	1923	220	Copernic 3
    5 mai	1924	349	Copernic 3

    
    Au fost făcute numeroase încercări de a unifica, într-o interpretare consecventă și la zi, indicațiile împrăștiate date de Rudolf Steiner, dar niciuna nu le-a cuprins cu succes pe toate. Pentru unele din cele mai semnificative eforturi vezi (în ordine cronologică): Locher [1942]; Hagemann [1966]; Kaiser [1966]; Schmidt [1966]; Vetter [1967]; Van Bemmelen [1967]; Unger [1981]; Bauer [1981, 1988]; Hemming/Pinkall [1983]; Hardorp [1983]; Junge [1983]; Rudnicki [1984]; Adams [1989] (capitolul4) și Vanscheidt [1992].
100. Interpretarea mecanică a sistemului solar care a devenit curentă de la Newton considera că presupunerea unei a treia mișcări copernicane este superfluă. Adică dacă Pământul este văzut ca un titirez aproape simetric rotindu-se în câmpul gravitațional al Soarelui atunci, conform legii conservării rotației, direcția L a axei de rotație a Pământului rămâne fixă în spațiu. Această interpretare, derivată din fizică, ar fi fost, desigur, străină lui Copernic. Printre succesorii lui numai câțiva autori se plâng de neglijarea celei de a treia mișcări copernicane sau chiar o considerau un factor serios. Despre acest subiect vezi nota informativă a lui C.L. Menzzer asupra De Revolutionibus, vol. 1, capitolul 11, „Beweis von der dreifachen Bewegung der Erde” (Copernic [1879], appendix, pp.28-31). În acest context, conferința lui Rudolf Steiner din 25 septembrie 1919 (GA 300a) menționează de asemenea opera poetului și autorului Johannes Schlaf (1862-1941). Vezi Schlaf [ 1914] și [ 1919]; ambele au fost găsite în biblioteca lui Steiner iar prima conține o dedicație scrisă de mână a autorului cărții adresată lui Rudolf Steiner.
101. Elisabeth Vreede (1879-1943), matematician și astronom, iar din 1924 primul conducător al secțiunii pentru matematică și astronomie a Școlii de Știință a Spiritului de la Goetheanum, Dornach. În timpul acestui congres, dr. Vreede a ținut două conferințe (la 13 și 14 octombrie 1920) despre „Justificarea și limitele matematicii în astronomie” [ 1922].
102. Vreede [1922], pp. 138 și urm. și 160.
103. Carl Unger (1878-1929), manufacturier, inginer și filosof. În timpul acestui congres el a ținut șase conferințe (11-16 octombrie 1920) despre opera lui Rudolf Steiner [ 1921 ]. Vezi, de asemenea, raportul despre aceste conferințe scris de Willz Storrer în Unger [1921], în mod special secțiunile III și IV.
104. Pentru mai multe detalii despre teoria relativității cu privire la pasajul care urmează vezi sesiunea de întrebări și răspunsuri din 31 martie 1920 și 15 ianuarie 1921.
105. Vezi pasajul din Einstein citat în nota 37, la sesiunea de întrebări și răspunsuri din 7 martie 1920. Steiner se referă aici la problema cunoscută mai târziu ca „paradoxul gemenilor” sau „paradoxul ceasurilor”. Interpretarea sa, controversată încă astăzi, este înrudită cu semnificația conceptului de timp în fizică dar mai mult, în mod special, cu interpretarea „timpului propriu” unui sistem fizic în contextul teoriei relativității. Despre acest subiect vezi, de exemplu, Gschwind [1986] și referințele listate acolo.
106. Conform lui Einstein [1917], §18, principiul special al relativității afirmă că legile naturale universale ale fizicii sunt din punct de vedere formal identice pentru două sisteme de referință supuse unei mișcări uniforme (sisteme inerțiale). Desigur, această afirmație presupune că există sisteme inerțiale. Exemple populare luate din mecanica elementară nu satisfac în mod strict cele mai multe din cerințele preliminare; deci asemenea exemple eșuează în a corespunde realității chiar din perpectiva fizicii.
     
     Astfel, de exemplu, sistemul de referință „Pământ” (ca orice alt sistem rotativ) este un sistem accelerat, așa cum este sistemul de referință „mașină”. (Nota traducătorului: aflat pe arcul de orbită apropiat Soarelui, acesta își mărește viteza pe când în partea îndepărtată de Soare își încetinește viteza.) Deoarece înfrânge rezistența frecării, o mașină care se mișcă uniform execută o mișcare accelerată. Din cauza frecării, mașina nu este un sistem neschimbat ‒ cu atât mai mult când are un cauciuc dezumflat și viteza îi descrește. Considerații similare se aplică și în exemplul, citat adesea, al trenului și terasamentului de cale ferată. (Nota traducătorului: este vorba de exemplul de la care pleacă Einstein în cartea sa Teoria relativității pe înțelesul tuturor, pentru a face înțeles principiul relativității restrânse [speciale]. Trenul și terasamentul căii ferate pe care circulă acest tren reprezintă două sisteme de referință.)
     
     Singurele exemple de comportament relativist pe care fizica le consideră realiste au loc la nivelul atomic sau subatomic, așa cum subliniază și Einstein [1917] în conferința sa. Totuși, conform lui Steiner întreaga realitate a domeniului unor asemenea fenomene nu poate fi cuprinsă fără a extinde fizica cu ajutorul științei spiritului, al antroposofiei (vezi conferințele primului și celui de al doilea curs științific, GA 320 și GA 321).
107. Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), astronom, geodez și matematician din Konigsberg; a adus contribuții fundamentale la tehnicile și tehnologia observațiilor matematice, incluzând îmbunătățiri ale instrumentelor, analizelor sistematice ale erorilor, datorate instrumentelor și greșelilor de observare, și prin reducerea completă a observațiilor.
     
     Atât erorile instrumentale cât și influența atmosferei Pământului (refracție) trebuie eliminate atunci când este măsurată poziția unei stele. Mai mult, de dragul unui standard obiectiv care poate fi comparat cu alte măsurători, asemenea poziții trebuie calculate în termenii unui punct comun în timp, luând în considerare efectele datorate punctului de observare și ale mișcării Pământului. Asta cere o cunoaștere exactă a precesiei și nutației (o ușoară oscilație a axei Pământului cauzată de Lună ‒ nota traducătorului: atracția gravitațională exercitată de Lună nu se manifestă uniform datorită formei neregulate a Pământului. În realitate, nu este nici măcar elipsoid de rotație, având o ușoară „umflătură” care face ca atracția Lunii să îi imprime un tremur numit mișcare de nutație) și a aberațiilor zilnice, anuale și pe termen lung (cauzate de viteza finită a luminii și schimbările aparente ale pozițiilor astrelor datorate mișcării Pământului).
     
     Analiza lui Bessel asupra pozițiilor a 3 222 de stele, calculate de James Bradley (1693-1762) la Observatorul din Greenwich, a devenit o piatră de hotar în observațiile astronomice deoarece a făcut disponibile pentru prima dată poziții stelare exacte. Bessel a publicat rezultatele sale în cartea Fundamenta Astronomiae pro Anno 1755 Deducta ex Observationibus Viri Incomparabilis James Bradley in Specula Astronomica Grenovicensi per Annos 1750-1762, Instituti (Konigsberg [1818]), și Tabulae Regiomantanae Reductionum Observationum Astronomicum ab Anno 1750 usque ad Annum 1850 Computatae (Königsberg [1830]).
     
     Studii înrudite făcute de Bessel au dat naștere la metode îmbunătățite de determinare a mișcărilor independente ale stelelor fixe și la primul mijloc de determinare a paralaxei stelelor fixe individuale. (Nota traducătorului: precizarea „individuale” este necesară deoarece există și foarte multe stele duble, așa-numitele sisteme binare precum și sisteme multiple. Paralaxa unei stele singulare este unghiul sub care se vede semiaxa orbitei Pământului, adică ‒ dată fiind forma aproape circulară a orbitei terestre ‒ segmentul determinat de Soare și Pământ. Calculul acestui unghi este necesar deoarece aceeași stea este văzută de pe Pământ în două poziții diferite atunci când el se află pe orbită în două poziții „diametral” opuse, de exemplu, la aheliu și periheliu.)
     
     Aceste paralaxe au constituit prima demonstrație astronomică a mișcării anuale a Pământului (despre aceasta și alte demonstrații ale acestei mișcări vezi Teichmann [1983], capitolul 3.4). Așa-numitele formule de reducere ale lui Bessel pentru coordonatele stelelor au de-a face cu influențele anuale și de lungă durată ale precesiei și nutației. (Pentru mai multe despre acest subiect vezi Schmidt [1967]; Wolf [1890-1893], §609 și §613, și anuare de astronomie ca The Astronomical Almanac, pp. 1981 și urm., pp. §22 și urm.)
108. Albert Steffen (1884-1963), poet și, din 1924 încolo, primul conducător al secțiunii pentru arte și litere a Școlii de știință a spiritului de la Goetheanum, Dornach. În timpul acestei conferințe Steffen a ținut două expuneri (la 14 și 15 octombrie 1920) despre subiectul „Știința spiritului și crizele din viața artistului”. Steffen a publicat autoreferatul acestor conferințe în colecția Die Krisis im Leben des Künstlers [ 1922]. Vezi în mod special eseul cu același titlu din partea a II-a, pp. 31 și urm.
109. Teoria mulțimilor a fost întemeiată aproape de unul singur de matematicianul Georg Cantor (1845-1918). Cantor a trimis o copie a cărții lui Lehre vom Transfiniten [1890], cu o dedicație personală și corecturi de mână, lui Rudolf Steiner. Într-un tratat datat 1884, Cantor dă următoarea definiție unei mulțimi: „În general, eu înțeleg printr-o «varietate» sau «mulțime» un grup de multe elemente care poate fi conceput ca un întreg. Este rezumatul elementelor specifice care pot fi unite într-un întreg. Cred că am definit astfel ceva înrudit cu eidos-ul sau ideea lui Platon... (Cantor [1932], nota de subsol de la p. 204).
     Remarcile lui Rudolf Steiner se referă la investigațiile lui Cantor privind diversele niveluri (tipuri) de infinit. Baza acestar studii este această definiție pe care Steiner o parafrazează: „Înțeleg prin număr prim sau număr cardinal al unei mulțimi S (care constă în elemente separate conceptual s, s',... și care este definită și conturată de ele) conceptul universal sau general pe care îl putem obține prin abstractizarea din mulțime atât a caracterului elementelor sale cât și a tuturor relațiilor acestor elemente fie între ele, fie cu alte obiecte și în mod special ordinea care predomină între elemente, și care reflectă numai ceea ce este comun tuturor mulțimilor care sunt echivalente cu S. Două mulțimi S și T se numesc echivalente când fiecare element al uneia poate fi făcut să corespundă în mod clar cu exact un element al celeilalte” (Cantor [1890], pp. 23 și urm. Sau [1932] p. 387). Vezi, de asemenea, eseul intitulat „Georg Cantor și Rudolf Steiner”, în Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, nr. 114/115, Dornach, 1995.
110. Oswald Spengler (1880-1936) la început matematician și mai târziu scriitor. „Formă și actualitate”, primul volum al operei principale a lui Spengler, Declinul Occidentului, publicată în prima sa ediție în 1918 și apărută până în 1920 în 32 de ediții. Al doilea volum, „Perspective asupra istoriei mondiale”, care a apărut în 1922, nu a avut căutare în aceeași măsură. Declinul Occidentului a fost publicată în Statele Unite în 1926-1928.
111. A doua lege a termodinamicii este bazată pe conceptul entropiei care a fost prima dată formulat de Rudolf Clausius (1822-1888). Acest concept afirmă că entropia tinde către un maximum în orice proces termodinamic care are loc într-un sistem fizic de sine stătător (self-contained). În contextul fizicii, demonstrația acestei legi este posibilă numai pe baza altor ipoteze nedemonstrabile sau postulate. De exemplu, în teoria cinetică statistică a gazului datând de la James Clark Maxwell (1831-1879) și Ludwig Boltzman (1844-1906), această a doua lege ia forma unei teoreme demonstrabile (așa-numita teoremă H a lui Boltzman) bazată pe ipoteza haosului molecular complet.
112. Contele Hermann Keyserling (1880-1946), filosof, cofondatorul și conducățorul științific al „Școlii de înțelepciune” („Societatea pentru filosofie independentă”) din Darmstadt. Vezi opera sa ca, de exemplu, Das Reisetagebuch eines Philosophen [1919a], Der Weg der Vollendung: des Grafen Hermann Keyserling philosophischen Schaffen [1919b] și Philosophie als Kunst [1920].
113. Keyserling, Philosophie als Kunst [1920], p. 293: „«Școala înțelepciunii» trebuie să devină un al treilea element alături de Biserică (luând termenul în cel mai larg sens neconfesional) și Universitate. Ca fiecare din aceste alte două elemente intenția ei este să dea formă întregii ființe umane și să spiritualizeze sufletul uman. În plus, ea aspiră la o sinteză între viața sufletului omenesc și spiritul deplin conștient și independent, așa încât nici credința nici cunoașterea abstractă nu reprezintă autoritatea finală, dar credința, cunoașterea și viața devin una într-o unitate vie, superioară, de conștiență, încoronată de «Școala înțelepciunii» a cărei sarcină ar fi să încorporeze în mod organic cunoașterea academică abstractă într-o sinteză vie și să transforme pur și simplu «a cunoaște» în «a fi»”.
114. Steiner se referă aici probabil la revista săptămânală Die Zukunft editată de Maximilian Harden (volumele 1-118, 1892-1922). Până acum nu a fost găsit eseul scris de Hermann Keyserling pe care îl mentionează Steiner.
115. Vezi, de asemenea, discuțiile despre Keyserling în periodicul Dreigliederung des Sozialen Organismus, vol. 2, 1920/1921, nr. 20-25, în mod special raportul scris de Ernst Uehli (1875-1959) despre conferința lui Rudolf Steiner din 16 noiembrie 1920, în nr. 21 și 22. Comentarii despre Keyserling pot fi găsite în conferința lui Rudolf Steiner din 26 august 1921, publicată în periodicul Gegenwart, vol. 15, 1953-1954, nr. 2, pp. 49-64.
116. Până în prezent sursa acestei afirmații făcută de Keyserling nu a fost descoperită.
117. Goethe, Faust, partea a II-a, actul 2, scena 2, „Laboratorul”, versetul 6 989 și urm. Homunculus spune lui Wagner, care rămâne în urmă:
     
     „Desfășoară pergamentele antice,
     După cum a fost poruncit strânge elementele vieții
     Și unește-le cu grijă unele cu altele,
     Considerând Ce-ul dar mai ales Cum-ul.
     În timp ce cutreier printr-o bucățică de lume
     Voi descoperi, fără îndoială, punctul pe i.”

Stuttgart, 15 ianuarie 1921

118. Sesiunea de întrebări și răspunsuri de la sfârșitul celor patru conferințe ținute unei audiențe academice despre relația dintre știința spiritului și domeniile specializate ale științei. Cele patru conferințe din acest ciclu, Proben über die Beziehungen der Geisteswissenschaft zu den einzelnen Fachwissenschaften, au fost ținute în Stuttgart în perioada 11-15 ianuarie 1921 și au fost publicate în următoarele ediții ale periodicului Gegenwart, vol. 14 (1952-1953): 11 ianuarie 1921, nr. 2, pp. 49-67; 12 ianuarie 1921, nr. 3, pp. 97-118; 15 ianuarie 1921, nr. 4/5, pp. 145-167; 14 ianuarie 1921, nr. 6, pp. 225-236 și nr. 7, pp. 257-268; sesiunea de întrebări și răspunsuri din 15 ianuarie 1921, nr. 8, pp. 305-317. Aceste conferințe vor fi publicate în GA 73a. Vezi, de asemenea, raportul asupra acestei conferințe de Eugen Kolisko (1893-1939) în periodicul Dreigliederung des sozialen Organismus, vol. 2, 1920-1921; nr. 31, pp. 4-5, nr. 32, p. 5; nr. 33, p. 4.
119. Căldura la granița dintre spațiu și anispațiu. Impulsuri ale științei spirituale pentru dezvoltarea fizicii. Al doilea curs de științe naturale (GA 321), Stuttgart, 1-14 martie 1920.
120. Rudolf Clausius (1822-1888), fizician din Berlin, Zürich, Würzburg și Bonn. Clausius, împreună cu Ludwig Boltzmann (1844-1906) și James Clark Maxwell (1831-1879), este considerat unul dintre fondatorii termodinamicii moderne care este bazată pe teoria cinetică a gazului și pe mecanica statistică. Cartea lui Clausius Die Mecanische Wärmetheorie include tratatul lui asupra teoriei căldurii [1876-1891]. Vezi conferințele lui Rudolf Steiner din 1 și 11 martie 1920 (GA 321).
121. Editorii celui de al doilea curs de științe naturale al lui Steiner (GA 321) arată că diverși autori și-au exprimat preocupările de a explica termodinamica pe baza mecanicii. Am dori să adăugăm aici că înaintea descoperirii mecanicii cuantice și a statisticii cuantice nu era posibil să se reconcilieze încercările diverse de a dezvolta un model mecanic al structurii moleculare a materiei cu ajutorul unor constatări experimentale, în mod special al spectroscopiei. Despre acest subiect vezi Harman [1982J, capitolele V și VI.
122. Experimentul eterului drift condus de Michelson și Morley început în 1881 era menit să determine viteza Pământului în raport cu presupusul eter staționar cvasimaterial al fizicii. Rezultatul acestui extrem de precis experiment a fost negativ și a ridicat întrebări despre validitatea tuturor teoriilor despre lumină și electricitate care erau bazate pe ipoteza unui eter absolut staționar. O explicație teoretică a acestor constatări a fost dată de Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) și George Francis Fitzgerald (1851-1901), lucrând independent unul de celălalt. La scurt timp după, Albert Einstein (1879-1955) a dedus formulele rezultate, ca, de exemplu, contracția Lorentz, din presupunerile de bază ale teoriei speciale a relativității (principiul relativității, constanța absolută a vitezei luminii). Einstein a folosit o serie de experimente care există doar în gândire pentru a deduce și ilustra teoria sa. (Nota traducătorului: așa-numitele Gedankenexperiment.)
123. Despre formulele pentru căldura conductivă și radiantă și despre explicațiile care urmează aici, vezi conferințele lui Rudolf Steiner din 12 martie 1920 (GA 321) și 8 ianuarie 1921 (GA 323). Întrebările relevante sunt discutate conform cu metodele matematicii moderne în Dustmann/Pinkall [ 1992].
124. Vezi, de exemplu, capitolul din Enigmele sufletului (GA 21) a lui Rudolf Steiner intitulat „Max Dessoir și antroposofia” și discuțiile despre Hermann Keyseling de la sfârșitul sesiunii precedente de întrebări și răspunsuri (15 octombrie 1920).

Dornach, 7 aprilie 1921

125. Întrebări și răspunsuri (dispută) în timpul celei de a doua conferințe antroposofice de la Goetheanum, Dornach, din 3-10 aprilie 1921. Conferințele lui Rudolf Steiner despre „Antroposofia și științele specializate” au apărut împreună cu sesiunea de întrebări și răspunsuri (dispute) în Die befruchtende Wirkung der Anthroposophie auf die Fachwissenschaften (GA 76). Rapoartele lui Willy Stokar despre această conferință pot fi găsite în periodicul Dreigliederung des sozialen Organismus, vol. 2 (1920-1921), nr. 42 și 43. Rapoartele lui Eugen Kolisko au fost publicate în Die Drei, vol. 1 (1921-1922), pp. 471-478. Vezi, de asemenea, invitația la această conferință și programul detaliat din Dreigliederung des sozialen Organismus, vol. 2 (1920-1921), nr.36.
126. Metageometria este un termen aproape învechit, cuprinzând diverse tipuri de geometrie neeuclidiană. În a doua jumătate a secolului al XIX-lea, aceste geometrii neeuclidiene includeau geometria proiectivă, hiperbolică și eliptică, în general geometria spațiilor cu curbură (geometria lui Riemann), și geometria spațiilor multidimensionale.
127. Riemann: vezi nota l, Conferința 1 (24 martie 1905).
128. Gauss: vezi nota 1, Conferința 1 (24 martie, 1905).
129. „Metageometria lui Riemann” înseamnă probabil sau așa-numita geometrie eliptică, care a fost descoperită prima dată de Riemann și este strâns înrudită cu geometria suprafeței sferice, sau teoria generală ‒ de asemenea bazată pe lucrările lui Riemann ‒ a spațiilor curbe (varietăți cu o metrică riemanniană) din care geometria eliptică este doar un caz particular (spațiul cu curbură constantă pozitivă).
130. Kant nu făcea distincție între concepția matematică sau geometrică a conceptului despre spațiu și legile spațiului perceput. El l-a interpretat pe ultimul ca o condiție preliminară subiectivă necesară a percepției senzoriale. „Spațiul este o idee necesară a priori și stă la baza tuturor concepțiilor exterioare” (Critica rațiunii pure = CRP, B 38). „Certitudinea apodictică a tuturor teoremelor geometrice se bazează pe această necesitate a priori și pe posibilitatea construcției lor a priori” (CRP, A 24). Astfel, „Geometria este o știință care determină sintetic, și totuși a priori, proprietălile spațiului” (CRP, B 40). „De exemplu, spațiul are doar trei dimensiuni; asemenea afirmații nu se pot constitui și nu pot fi deduse pe baza judecăților empirice” (CRP, B 41).
     
     „Cum poate mintea să cuprindă o concepție exterioară care precede obiectele însele și în care conceptul ultimului poate fi determinat a priori? Aparent în măsura în care își are sediul numai în subiect, ca fiind calitatea formală a acestuia de a fi afectat de obiecte și prin aceasta de a obține reprezentarea directă a acestora, adică de a obține intuiția, așadar numai ca formă a simțului exterior” (CRP, B 41). Astfel, „Spațiul nu este nimic altceva decât forma tuturor manifestărilor simturilor exterioare, adică condiția subiectivă a naturii senzoriale care singură face posibilă percepția noastră exterioară” (CRP, B 42). Astfel, pentru Kant, legile spațiului perceput coincid cu principiile geometrice care pot fi gândite. În timpul lui Kant, ideile despre măsurători și spații neeuclidiene cu mai mult de trei dimensiuni nu apăruseră încă în matematică. În particular, nu făcea distincție clară între proprietățile topologice și cele metrice care datează doar de la Riemann, așa că el nu a văzut nicio diferență între atributul topologic al nemărginirii și atributele metrice ale infinitului. Astfel, în explicațiile sale despre „antinomiile gândirii pure”, unde el proclamă insolvabilitatea unor anumite probleme care nu pot fi interpretate din pespectiva sa, Kant spune: „Același lucru este adevărat cu privire la răspunsul dual la întrebarea despre mărimea Cosmosului, deoarece, dacă este infinit și fără limite, este prea mare pentru toate conceptele empirice posibile. Dacă este finit și limitat, atunci suntem îndreptățiți să întrebăm: Ce îi determină limitele?” (CRP, B 515). Conceptul lui Kant despre spațiu care se agață de geometria tridimensională euclidiană nu poate fi reconciliat cu diversele concepte despre spațiu care s-au dezvoltat pe măsură ce matematica a continuat să se dezvolte . Unul dintre primii care a arătat clar acest lucru din perspectiva fizicii și psihologiei a fost Hermann von Helmholtz (1821-1894). Despre acest subiect vezi discursul lui Helmholtz în Die Tatsachen in der Wahrnehmung [1878].
131. Discuția lui Kant despre paralogisme (concluzii false sau înșelătoare) și antinomiile rațiunii pure constituie marea parte a volumului al doilea, Dialectica transcendentală a Criticii rațiunii pure [1787]. Kant a intenționat să facă prin critica sa despre criteriile paralogismelor rațiunii pure o critică a pretențiilor psihologiei raționaliste a zilelor lui (incluzând problema preexistenței sufletului, neschimbării etc.) mai degrabă decât o discuție asupra paralogismelor clasice.
     
     „Un paralogism logic este falsitatea formală a unei concluzii raționale, indiferent de conținutul ei. Un paralogism transcendental are totuși un motiv transcendental de a ajunge la o concluzie formal falsă. Astfel, o concluzie greșită de acest gen are motivele sale în natura raționamentului uman și poartă cu sine o iluzie inevitabilă, dacă nu cumva insolubilă” (CRP, B 399). Așa cum face mai târziu în discuțiile sale asupra antinomiilor rațiunii pure, Kant încearcă în discuția sa despre paralogisme să demonstreze că ele se dizolvă numai când este aplicată propria sa concepție, și anume că noi putem cunoaște numai manifestarea „lucrurilor în sine” și că în timp ce rațiunea noastră poate ordona aceste manifestări conform cu principii regulatoare (ca, de exemplu, formele percepute ale spațiului și timpului) nu este posibil a privi direct în constituția lucrurilor în sine. Problema spațiului joacă doar un rol periferic în discuțiile lui Kant asupra antinomiilor rațiunii pure, și anume în cel de-al patrulea paralogism despre relația sufletului cu „posibile obiecte din spațiu” (CRP, B 402). În contrast, concepția lui Kant despre spațiu este de importanță fundamentală în discuția sa asupra sistemului de idei cosmologice din secțiunea despre antinomiile rațiunii pure.
132. Desigur, spațiul euclidian tridimensional era punctul istoric de plecare și, inițial, fundamentul din care au fost dezvoltate conceptele neeuclidiene în geometria proiectivă și în geometriile spa]iilor curbate și multidimensionale. În aceste limite, noile fornie de spațiu erau derivate din natură; deși nu erau cazuri speciale ale spațiului euclidian, ele au lărgit conceptul de spațiu pe baza conceptelor euclidiene fundamentale. Referirea lui Steiner la logica circulară are de-a face cu faptul că obținem doar o aparentă generalizare a conceptului de spațiu câtă vreme conceptele relevante depind în mod esențial de un punct de plecare euclidian.
     
     Evoluția ulterioară a matematicii a arătat că ne putem dispensa de fundamentele euclidiene, că legile spațiului pot fi dezvoltate pas cu pas fără a presupune dezvoltarea vreunui concept euclidian. Începem cu o varietate topologică care este definită ca liberă de coordonate, dotată cu o metrică, iar dacă este necesar, cu structuri geometrice diferențiale, ajungând la geometria euclidiană ca la un caz special de varietate tridimensională metrică. Văzut sistematic, nu mai există nicio logică circulară implicată în acest proces. Atunci când Steiner a răspuns la această întrebare aceste chestiuni nu erau clarificate final nici chiar printre matematicieni. Vezi, de asemenea, notițele scrise ale lui Rudolf Steiner și notele de subsol corespunzătoare în nr. 114/115 din Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, Dornach, 1995, p. 49. În orice caz, cu privire la structura spațiului real, conceptele matematice, care indică numai care forme spațiale sunt posibile, sunt într-adevăr abstracte și îndepărtate de realitate în acest sens, atâta vreme cât corespondențele lor cu realitatea nu au fost stabilite.
133. Conceptul de spațiu care datează de la Euclid (aprox. 320-260 î.Ch.) poate fi găsit în cel de-al 13-lea volum al cuprinzătoarei sale lucrări Elementele, în mod special în cartea al XI-a și într-o măsură mai mică, în cartea I. Această concepție asupra spațiului se concentrează asupra fundamentelor stereometriei, adică calcularea volumelor obiectelor tridimensionale.
134. Despre relația imaginației, inspirației și intuiției cu dimensiunile spațiului, vezi conferințele lui Rudolf Steiner din 19 și 26 august 1923 (GA 227, pp. 39-41 și 161-163). Vezi, de asemenea, conferințele sale din 17 mai 1905 (GA 324a); 16 septembrie 1907 (GA 101, pp. 189 și urm.); 15 ianuarie 1921 (GA 323, pp. 274-283); 8 aprilie 1922 (GA 82); 24 iunie 1922 (GA 213) și sesiunea de întrebări și răspunsuri din 12 aprilie 1922 (GA 82 și 324a).
135. Vezi, de asemenea, conferințele lui Rudolf Steiner din 9 și 10 aprilie 1920 (GA 201); 17 martie 1921 (GA 324); 26 și 27 decembrie 1922; 1 ianuarie 1923 (GA 326). În secțiunea despre conceptul lui Goethe despre spațiu din Introduceri la scrierile de științe naturale ale lui Goethe (GA 1, pp. 288-295), Steiner dezvoltă, de asemenea, ideea că cele trei dimensiuni nu se pot schimba între ele, dar dintr-o perspectivă total diferită.
136. În mod esențial, geometria tridimensională este încă stereometrie, adică studiul proprietăților geometrice ale obiectelor tridimensionale. Unghiurile drepte și conceptul de perpendicularitate joacă un rol important în geometria euclidiană, dar Euclid nu a pus niciun accent pe cub sau pe sistemul înrudit al celor trei axe perpendiculare.
     
     Introducerea implicită a unor asemenea axe ca sistem de referință pentru tratarea algebrică a curbelor datează de la Pierre de Fermat (1601-1665) și René Descartes (1596-1650). Totuși, amândoi acești matematicieni au folosit adesea axele oblice iar în munca lor sistemul de coordonate nu a jucat încă un rol ca structură independentă care poate fi disociată de obiectul geometric în discuție. Până la sfârșitul secolului al XVIII-lea, același lucru era adevărat despre dezvoltarea geometriei analitice bazată pe munca acestor pionieri. Aplicarea sistematică a două direcții perpendiculare sau oblice ca sisteme de referință și pentru coordonate și discuția curbelor algebrice a avut loc prima dată în tratatul lui Isaac Newton (1643-1727) intitulat Enumeratio Linearum Tertii Ordinis (1676). Newton a fost, de asemenea, primul care a folosit coordonatele negative în mod sistematic pentru a desena curbe în toate cele patru cvadrante ale sistemului de coordonate. Geometria analitică a spațiului tridimensional și folosirea corespunzătoare a sistemului celor trei axe perpendiculare datează de la studiile sistematice asupra suprafețelor făcute de Leonhard Euler (1707-1783). Geometria analitică în sensul modem a fost formulată definitiv în ultima parte a secolului al XVIII-lea și începutul secolului al XIX-lea de către Gaspard Monge (1746-1818) și elevul său François Lacroix (1765-1843), care a fost unul dintre cei mai de succes autori de manuale de matematică din secolul al XIX-lea. Înainte, sistemele de coordonate erau folosite în primul rând în conexiune cu figurile geometrice specifice, dar în noua geometrie analitică un sistem de coordonate preexistent oferea un reper pentru studiul figurilor geometrice, proporțiilor lor interne și relațiilor dintre ele. Cu privire la acest subiect, vezi opera de referință a lui Boyer [1956].
137. Vezi discuția asupra acestei probleme în nota 132 de mai sus.
138. Vezi sesiunea de întrebări și răspunsuri din 7 martie 1920 și notele corespunzătoare.
139. Întrebări și răspunsuri (discuție deschisă) din timpul Cursului de artă de la Goetheanum din 21 până în 27 august 1921. Rezumatele conferințelor lui Rudof Steiner din timpul acestei conferințe, făcute chiar de el, au fost publicate în Nachrichten der Rudolf Steiner ‒ Nachlassverwaltung, nr. 8, 1962, pp. 4-20. (Începând cu număru129 din 1970, numele acestei publicații este schimbat cu Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe.) Un program detaliat al conferinței a fost publicat în jurnalele Dreigliederung des sozialen Organismus, vol. 3, nr.5 și Das Goetheanum, vol. 1, 1921-1922, nr. 1. Copii ale conferințelor au fost publicate prima dată în periodicul Gegenwart. Conferinta introductivă, din 21 august 1921, a apărut în vol. 14, 1952-1953, nr. 9/10, pp. 353-363; conferința din 23 august 1921, în vol. 14, nr. 11, pp. 417-428; conferința din 24 august 1921, în vol. 15, 1953-1954, nr. 1, pp. 4-19; conferința din 26 august 1921, în vol. 15, nr. 2, pp. 44-63. Publicarea acestei serii de conferințe este plănuită în GA 73a. Sesiunea de întrebări și răspunsuri apare aici tipărită pentru prima dată.

Dornach, 26 august 1921

140. Comparați asta și pasajele care urmează cu sesiunea de întrebări și răspunsuri din 15 octombrie 1920 și notele corespunzătoare.
141. Vezi, de asemenea, conferințele lui Rudolf Steiner din 2 mai 1920 (GA 201) și 16 ianuarie 1921 (GA 323).
142. În această conferință Rudolf Steiner enumeră aceste legi în ordinea dată de Copemic în capitolul 11 din primul volum al lucrării sale principale De Revolutionibus Orbium Coelestium. Vezi, de asemenea, notele 96 și 97 la sesiunea de întrebări și răspunsuri din 15 octombrie 1920.
143. Se pare că Rudolf Steiner se referă aici la reducerile lui Bessel, pe care le menționează în sesiunea de întrebări și răspunsuri din 15 octombrie 1920.

Haga, 12 aprilie 1922

144. Sesiunea de întrebări și răspunsuri de la sfârșitul unei serii de conferințe ținute profesorilor universitari la Haga în perioada 7-12 aprilie 1922. Aceste conferințe au fost publicate în volumul intitulat Damit der Mensch ganz Mensch werde. Die Bedeutung der Anthroposophie im Geistesleben der Gegenwart (GA 82, Dornach, 1994).
145. Pentru mai multe informații despre Hinton vezi nota 1 la conferința din 31 martie 1905. Despre tessarakt vezi conferința din 31 mai 1905 și notele corespunzătoare.
146. Vezi notele 135 și 136 și pasajele corespunzătoare din sesiunea de întrebări în răspunsuri din 7 aprilie 1921.
147. Vezi conferințele lui Rudolf Steiner din 8, 9 și 10 aprilie 1922 (GA 82).
148. Vezi pasajele similare de la sfârșitul conferinței lui Rudolf Steiner din 10 ianuarie 1921 (GA 323, pp. 199-200) și începutul conferinței din 18 ianuarie 1921 (GA 323, pp. 318-320).
149. Se pare că Steiner se referă aici la conferința pe care a ținut-o în cadrul Societății matematice din Basel în iarna lui 1920-1921. Pentru mai multe detalii despre această conferință vezi eseul Über einen matematischen Vortrag Rudolf Steiner in Basel, în Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, nr. 114/115, Dornach, 1995.
150. Vezi pasajele paralele din conferințele din 11 ianuarie 1921 (publicate în Gegenwart, vol. 14, pp. 49-67, îndeosebi p. 65) și 5 aprilie 1921 (GA 76).
151. Vezi sesiunea de întrebări și răspunsuri din 7 martie 1920 și notele corespunzătoare.
152. Pentru mai multe despre acest subiect vezi conferințele din 28 octombrie 1909 și 10 februarie 1910, în Metamorfozele vieții sufletești. Căli ale trăirilor sufletești, GA 58 și 59.
153. Friedrich Wilhelm Ostwald (1853-1932), chimist, teoretician al culorilor și filosof al științei. În conferința sa Die Überwindung des wissenschaftlichen Materialismus din 20 septembrie 1895, care a inclus o pledoarie a propriilor sale concepții despre lume bazate pe energie, în contrast conștient cu concepția mecanicistă a lui Emil du Bois-Reymond (1818-1896), Ostwald a spus:
     
     „În timp ce eforturile de a interpreta fenomene familiare din fizică în termeni mecanici par zadarnice, eșuând până la urmă în fiecare încercare serioasă, faptul că succesul este chiar mai puțin posibil cu privire la fenomenul incomparabil mai complex al vieții organice este o concluzie inevitabilă. Aceeași contradicție principială se aplică și aici iar pretenția că toate fenomenele naturale pot fi reduse la fenomene mecanice nu poate fi considerată nici măcar o ipoteză de lucru folositoare; este pur și simplu o eroare. Această eroare devine mai vizibilă atunci când ne confruntăm cu următorul fapt. O însușire a tuturor ecuațiilor mecanice este aceea că ele permit schimbarea semnului unității de timp. Adică din punct de vedere teoretic procese mecanice perfecte pot să se deruleze înapoi ca și înainte. De aceea într-o lume pur mecanică nu ar exista mai devreme și mai târziu așa cum le cunoaștem în lumea noastră. Un copac ar putea să revină la stadiul de sămânță, un fluture s-ar putea transforma înapoi într-o omidă, iar o persoană în vârstă într-un adult. Concepția mecanicistă nu poate explica de ce se întâmplă asta și din cauza sus-amintitei însușiri a ecuațiilor mecanice, nici nu este posibilă o asemenea explicație. Astfel, ireversibilitatea fenomenelor naturale dovedește existența proceselor care nu pot fi descrise prin ecuații mecanice și prin aceasta am pronunțat condamnarea materialismului științific” ([1895], pp. 20).
154. Steiner vrea să spună că o linie dreaptă proiectivă trebuie vizualizată ca având numai un punct infinit depărtat (și nu două).
155. Fondatorul perspectivei moderne a fost Filippo Brunelleschi (1377-1446), arhitectul și constructorul cupolei catedralei din Florența. Noua teorie a perspectivei a fost promovată prima dată de arhitectul și savantul Leon Battista Alberti (1401-1472) și de către pictorul și matematicianul Piero della Francesca (1416-1492). Cartea lui Albrecht Dürer (1471-1528), Underweysung der messung mit dem zirkel und richtscheyt in linien, ebnen und ganzen corporen [1525] a avut o importanță decisivă asupra regiunii culturale de la nord de Alpi.
156. Asupra unei perspective a culorii vezi conferințele lui Rudolf Steiner din 2 iunie 1923 (GA 291) și 19 aprilie 1922 (GA 304, p. 208) și sesiunea de întrebări și răspunsuri din 11 martie 1920.

Dornach, 29 decembrie 1922

157. Comentariile suplimentare ale lui Rudolf Steiner din timpul ciclului de conferințe Der Enstehungsmoment der Naturwissenschaft in der Weltgeschichte und ihre seitherige Entwickelung, GA 326. Comentarii asupra discuției care a urmat după o conferință a lui Ernst Blümel (1884-1952) în Die vier Raumdimensionen im Lichte der Anthroposophie. Până în prezent nu s-a găsit nicio copie a conferinței lui Blümel.
158. Vezi conferințele ținute în perioada 26-28 decembrie 1922 (GA 326). Despre spațiul tactil și vizual vezi conferințele lui Rudolf Steiner din 17 martie 1921 (GA 324) și 1 ianuarie 1923 (GA 326).
159. Rudolf Steiner indică în foarte multe locuri tranziția de la sferă la plan sau de la cerc la linia dreaptă. Vezi pasajele paralele din acest volum în conferința din 24 martie 1905 și întrebările și răspunsurile din 2 septembrie 1906, 28 iunie 1908 și 25 noiembrie 1912.
160. Pentru mai multe informații despre „realitatea întrevăzută” prin geometria proiectivă vezi conferințele lui Rudolf Steiner din 11 ianuarie 1921 (publicate în Gegenwart, vol. 14, 1952, nr. 2, pp. 49-67; plănuit pentru publicare în GA 73a); 5 aprilie 1921 (GA 76); sesiunea de întrebări și răspunsuri din 12 aprilie 1922 (GA 324a și 82).
161. Astăzi mișcările specifice sunt înțelese ca posedând doar un singur grad de mișcare, adică mișcările care sunt astfel restricționate încât există doar un singur parametru liber pentru mișcare. Totuși se pare că ceea ce Steiner vrea să indice aici este problema foarte generală a mișcării supuse unor condiții secundare sau forțe de constrângere. Formularea newtoniană a mecanicii se dovedește a nu putea fi mânuită în calcularea mișcărilor supuse condițiilor secundare. Mai mult, această formulare face dificil să fie introduse coordonate nerectilinii standard pentru mișcare. Ecualiile Lagrange, care sunt bazate pe un principiu al calculului mecanic variațional, oferă soluții elegante pentru ambele probleme.
162. Vezi conferința lui Rudolf Steiner din 27 decembrie 1922 (GA 326).
163. Despre numerele negative vezi conferințele lui Rudolf Steiner din 7 ianuarie și 8 ianuarie 1921 (GA 323).
164. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), matematician, fizician și astronom la Turino, Berlin și Paris. Deducerea, discuția și aplicațiile ecuațiilor numite mai târziu după numele lui Lagrange constituie marea parte a cărții sale Mécanique analytique (Paris, 1788).
165. Vezi conferința lui Rudolf Steiner din 28 decembrie 1922 (GA 326).

AcasăLucrări OnlineIndex GA324aPrecedentaUrmătoarea