Biblioteca antroposofică

CăutareIndex GALucrări OnlineUrmătoarea

Rudolf Steiner

A PATRA DIMENSIUNE
Matematică și adevăr

GA 324a

COLECȚIA INIȚIERI
Seria Biblioteca antroposofică

Coordonatorul colecției: biolog dr. PETRE PAPACOSTEA
Redactor: MARIA STANCIU
Tehnoredactor: MIHAELA TUDOR
Coperta: SILVIU IORDACHE

Descrierea CIP a Bibliotecii Naționale a României STEINER, RUDOLF A patra dimensiune. Matematică şi adevăr: Şase conferinţe ţinute la Berlin între 24 martie şi 7 iunie 1905, Două conferinţe ţinute la Berlin la 7 noiembrie 1905 şi 22 octombrie 1908, Răspunsuri la întrebări puse între 1904 şi 1922 / Rudolf Steiner; trad. din lib. eng.: Florin Secoșan; confruntare cu textul german: Petre Papacostea. - Bucureşti : Univers Enciclopedic, 2008 ISBN 978-973-637-167-7 I. Secoșan, Florin (trad.) II. Papacostea, Petre 141.332

Societatea antroposofică din România
Strada Vișinilor nr. 17, sector II, București
www.antroposofie.ro

COPERTA IV

În acest ciclu de conferinţe Rudolf Steiner pune în discuţie valoarea spaţiului tridimensional imaginat ca fiind construit pe trei axe, x, y, z, perpendiculare fiecare pe celelalte două. El consideră acest spaţiu un produs al abstractizării şi-l numeşte spaţiu rigid. El crede că acest concept nu ne permite să înţelegem realitatea vie, atât la nivel cosmic cât şi al indivizilor lumii vii. Prin creşterea sa antigravitaţională, planta ne permite să constatăm existenţa unei a patra dimensiuni, animalul are cinci dimensiuni, iar omul şase dimensiuni.

Rudolf Steiner dezvăluie numeroase aspecte ce nu pot să nu trezească interesul cititorului pentru lucruri care, în majoritatea cazurilor, nu fac parte din preocupările obişnuite ale acestuia. Explicaţia constă în logica impecabilă a discursului. Acest fapt se explică prin competenţa cu care unifică punctele de vedere matematice cu cel interior spiritual al celei de a patra dimensiuni şi prin bogăţia surselor de specialitate citate.

Noi nu putem înţelege spaţiul tridimensional decât descoperind continuu că el este străbătut de manifestările pluralidimensionalităţii.

biolog dr. PETRE PAPACOSTEA

CUPRINS

Treptele adevărului (biolog dr. Petre Papacostea)

În legătură cu publicarea conferințelor lui Rudolf Steiner.

Despre această ediție.

Prefață la ediția engleză (David Booth)

Partea I
Conferințe despre a patra dimensiune

CONFERINȚA I — Berlin, 24 martie 1905

Gândirea matematică și realitatea. Dimensiunile spațiului. Trecerea de la dimensiuni inferioare la dimensiuni superioare prin mișcare. Simetria în oglindă. Analogii ale lumii exterioare cu senzația interioară: curbarea unor segmente de dreaptă tot mai mari în cercuri, pecetea și ceara de pecetluire. A patra dimensiune ca o posibilitate conceptuală și ca realitate. Vitalizarea reprezentării spațiului; modelele lui Oskar Simony.

CONFERINȚA a II-a — Berlin, 31 martie 1905

Gânduri despre spațiul cvadridimensional în conexiune cu opera lui Hinton. Relații simetrice. „Bucle” în spațiu ca procese și forțe naturale reale, de exemplu, mișcarea Lunii și a Pământului în jurul Soarelui. Construcția dimensiunilor. Omul ca ființă cvadridimensională; în stadiile timpurii ale evoluției el era tridimensional. Lumea astrală. Punct și periferie; un punct radiind lumină în afară este opusul unei sfere radiind întuneric spre centru. Cubul și opusul său. Abilitatea de a radia ca dimensiune suplimentară. Aplicația acesteia la pătrat și cub.

CONFERINȚA a III-a — Berlin, 17 mai 1905

Studierea spațiului cvadridimensional ca pregătire pentru înțelegerea lumii astrale și a altor forme de existență superioară. Atribute caracteristice ale lumii astrale: numerele, figurile spațiale și perioadele de timp trebuie să fie citite simetric, adică în ordine inversă sau ca propriile lor imagini în oglindă. Moralitatea apare, de asemenea, în forme inversate sau imagini-oglindă. Periferia este centrul. Viața umană ca o stagnare a două curente venind dinspre trecut și viitor. Pragul, ca trăire astrală a panoramei evoluției viitoare, include întrebarea: Vrei să intri? Kamaloka revelează natura animală nepurificată a ființei umane; aceasta este semnificația mai adâncă a doctrinei transmigrației sufletelor. Pătratul fizic și cel mental. Pătratul fizic ca o stagnare a două perechi de curente opuse. Cubul în planul fizic și în cel mental. Dimensiuni pozitive și negative: Lumea astrală este cvadridimensională. Animalul ca stagnare a celor două curente opuse al plantei și al omului.

CONFERINȚA a IV-a — Berlin, 24 mai 1905

Exerciții de reprezentare a formațiunilor tridimensionale în două dimensiuni, cu referire la Hinton. Desfășurarea și reprezentarea în culori a celor trei dimensiuni ale cubului. Reprezentarea celei de a treia dimensiuni în plan prin mișcarea unui pătrat bicolor printr-o a treia culoare. Transferarea acestei operații la reprezentarea unei figuri cvadridimensionale, tessarakt-ul. Desfășurarea tessarakt-ului prin comparație cu desfășurarea cubului. Taina alchimică și adevărata vedere a spațiului cvadridimensional. Vizualizarea meditativă a mercurului și sulfului. Substanța astrală.

CONFERINȚA a V-a — Berlin, 31 mai 1905

Desfășurarea cubului conduce la o nouă analogie pentru reprezentarea tridimensională a tessarakt-ului (cubul cvadridimensional). Analogia ca metodă pentru elaborarea unei reprezentări mentale a figurilor cvadridimensionale. Înjumătățirea numărului de fețe ale unui octaedru dă naștere unui tetraedru; această operație nu poate fi efectuată în cazul cubului. Proprietățile geometrice ale dodecaedrului rombic comparate cu cele ale cubului și ale tetraedrului/octaedrului. Cubul ‒ pol opus spațiului tridimensional. Legarea figurilor bi și tridimensionale prin formațiuni curbate: pătratul curbat și cubul curbat. Cubul obișnuit este rezultatul aplatizării unui cub curbat. Inversarea acestei operații prin curbarea unei figuri tridimensionale poate da naștere unei figuri cvadridimensionale.

CONFERINȚA a VI-a — Berlin, 7 iunie 1905

Un hexagon este proiecția unui cub în spațiul bidimensional; un dodecaedru rombic este proiecția unui tessarakt în spațiul tridimensional. Axele cubului și ale dodecaedrului rombic. Alegoria peșterii a lui Platon ca imagine a relației dintre realitatea cvadridimensională și spațiul tridimensional. Mișcarea sau timpul ca expresie și manifestare a vieții, cea de a patra dimensiune. Cristalele au plane ca frontiere, în timp ce lucrurile vii au frontiere sferice (celulele). Distrugerea celei de a patra dimensiuni a lucrurilor vii conduce la imaginea sa tridimensională statică. A cincea dimensiune care rezultă din întâlnirea dintre ființe cvadridimensionale se manifestă în cea de a treia dimensiune ca activitate extrasenzorială. Conștiența de sine este proiecția celei de a șasea dimensiuni în lumea fizică tridimensională. Ceea ce a experimentat Moise pe muntele Sinai este un exemplu de ființă cvadridimensională reală cu două dimensiuni obișnuite, plus două dimensiuni superioare, timpul și activitatea senzorială. Dezvoltarea abilităților spirituale prin muncă interioară intensivă, cu analogiile prezentate aici.

SPAȚIUL CVADRIDIMENSIONAL — Berlin, 7 noiembrie 1905

Crearea dimensiunilor prin mișcare. Transformarea unui cerc într-o linie dreaptă. Importanța recentei geometrii proiective sintetice pentru o concepere corectă a spațiului. Spațiul este de sine stătător. Răsuciri în curbe închise ale unor benzi de hârtie ca un exemplu de înnodare a unor dimensiuni. În realitate, mișcările Lunii și Pământului în jurul Soarelui sunt și ele înnodate. Vitalizarea concepției noastre despre spațiu. Un hexagon este proiecția unui cub; un dodecaedru rombic este proiecția unui tessarakt. Tranziția la realitate. Timpul, mișcarea și dezvoltarea ca expresii ale celei de a patra dimensiuni la plante. Dacă însuși timpul devine viu, aptitudinea senzorială se naște la animale ca expresie a celei de a cincea dimensiuni. Ființele umane au șase dimensiuni.

DESPRE SPAȚIUL MULTIDIMENSIONAL — Berlin, 22 octombrie 1908

Matematicienii nu pot face mai mult decât să discute despre posibilitatea spațiului multidimensional. Cele trei dimensiuni ale cubului, lungimea, lățimea și înălțimea. Ce este o suprafață plană? O simplă tranziție prin calcul la dimensiunile superioare nu conduce la realitate. Încercarea de a înțelege spațiul ‒ de exemplu, infinitul ‒ pe baza numerelor conduce la confuzie. Numerele nu au nicio relație sau au o relație neutră cu spațiul. Disparițiile și reaparițiile repetate indică existența unei a patra dimensiuni. Respingerea unui argument materialist. Desfășurarea frontierelor unui pătrat și ale unui cub. Desfășurarea celor opt cuburi ale tessarakt-ului.

Partea a II-a
Întrebări și răspunsuri (1904-1922)

STUTTGART, 2 septembrie 1906

Educație ocultă înseamnă a lucra asupra corpului nostru astral și asupra corpului eteric. Lumea astrală este cvadridimensională. Viața își revelează a patra dimensiune prin creștere. Comparație cu un cerc care, crescând continuu, devine o linie dreaptă. Spațiul astral este conținut în sine.

NÜRNBERG, 28 iunie 1908

Spațiul astral, în contrast cu spațiul fizic, nu este limitat. El se comportă ca o linie dreaptă proiectivă conținută în sine. Vizualizarea unui cerc care se extinde pentru a deveni o linie dreaptă.

DÜSSELDORF, 21 aprilie 1909

Spațiul în perspectivă esoterică. Relația ierarhiilor și a Treimii cu spațiul. Timpul ca rezultat al interacțiunii unor ființe inferioare cu altele superioare. Chiar și pentru ierarhii, spațiul există ca o creație a Treimii.

DÜSSELDORF, 22 aprilie 1909

Lucrul cu concepte geometrice de bază trezește facultăți clarvăzătoare. O linie dreaptă conținută în sine (proiectivă) ca exemplu de relații spațiale astrale.

BERLIN, 2 noiembrie 1910

Plante, animale și ființe umane ca ființe cu patru, cinci și respectiv șase dimensiuni.

BASEL, 1 octombrie 1911

Lumina posedă interioritatea ca a patra dimensiune.

MÜNCHEN, 25 noiembrie 1912

Problema realității dimensiunilor superioare. Matematicienii pot formula idei teoretice despre aceste dimensiuni. Realitatea superioară este într-adevăr multidimensională dar am avea nevoie de o matematică mai bună pentru a o fundamenta corect. Unele subiecte de la frontierele matematicii sunt importante. Exemplul unei linii drepte proiective. Nu trebuie să supraestimăm matematica.

BERLIN, 13 februarie 1913

Semnificația ocultă a Secțiunii de aur.

BERLIN, 27 noiembrie 1913

În viața de după moarte, spațiul și timpul sunt total diferite; viteza, mai degrabă decât timpul, aparține experienței noastre lăuntrice. Timpul este dependent de procesele dezvoltării lăuntrice.

STUTTGART, 1919

Răspunsuri scrise la întrebări despre matematică.

STUTTGART, 7 martie 1920

Viteza luminii și propagarea undelor luminoase. Metodele mecanice de măsurare nu sunt aplicabile luminii. Pe măsură ce se răspândește în spațiu lumina nu este pierdută în infinit ci este supusă unei legi a elasticității. Probleme privitoare 1a teoria relativității a lui Einstein din perspectiva științei spiritului. În mecanică timpul este o abstracție; numai viteza este reală. Discuții despre formula vitezei. Durata vieții unui organism și mărimea sa nu sunt relative sau arbitrare. Teoria relativitătii trebuie contracarată de o teorie a caracterului absolut al sistemelor totale.

STUTTGART, 7 martie 1920

Energia stocată într-o masă (conform teoriei lui Einstein) poate fi utilizată tehnologic dacă poate fi controlată. Formula lui Einstein E = mc² este un tip de energie potențială. Problema absolutizării procedurilor aritmetice. Timpul imanent al sistemelor totale.

STUTTGART, 11 martie 1920

Numerele pozitive și negative ca realități; materie ponderabilă și imponderabilă. Simbolizarea spectrului culorilor. Numerele pozitive ‒ realități fizice; numerele negative ‒ realități extraspațiale eterice; numerele imaginare ‒ domeniul astral; numerele superimaginare ‒ adevărata ființă a Eului. Divizorii lui zero trebuie incluși. Ființa umană ca o stare de echilibru între suprasensibil și subsensibil. Sistemele de numere pe suprafețe curbe. Conceptul de „doar calculabil” în matematică. Necesitatea de a putea concepe numere negative și imaginare fără ajutorul geometriei.

STUTTGART, 11 martie 1920

Domeniul matematicii și geometriei sunt stări intermediare între un arhetip și imaginea sa în planul fizic. Geometrie inerent mobilă sau fluidă. Dimensiuni superioare. Ființa umană ca imagine fizică a lumilor spirituale. Perspectiva cromatică. Extinderea geometriei fluide printr-un factor de intensitate cu ajutorul culorilor. Vederea stereoscopică ca interacțiune echilibrată între ochiul stâng și cel drept; această vedere vitalizată este centrul dinamic al organelor asimetrice.

DORNACH, 30 martie 1920

Fenomenologia ca sistematizare a fenomenelor. Relația unei axiome cu corelațiile geometrice este comparabilă cu relația unui fenomen arhetipal cu fenomenele derivate. Nevoia de a clarifica conceptul de experiență. Descoperirea geometriei neeuclidiene arată că formulele matematice, ca și concluziile fenomenologice, cer verificări empirice în realitate.

DORNACH, 31 martie 1920

Extinderea matematicii. Fenomenologia reală este preocupată de ființe, dar nevoia pentru control mecanic exclude ființele și conduce la multe realizări tehnice pe socoteala progresului cunoașterii, adică a cunoașterii ființei umane. Teoria culorilor a lui Goethe. Extinderea perspectivei noastre cere, de asemenea, extinderea câmpului matematicii. Eterul nu este de imaginat în termeni materiali. Când intrăm pe tărâmul eteric, trebuie să substituim numerele pozitive prin numere negative în formulele matematice. Dacă vrem să trecem dincolo de domeniul vieții trebuie să introducem mărimi imaginare care ar putea oferi o ieșire din incapacitatea actuală de a controla natura numai tehnic.

DORNACH, 15 octombrie 1920

Cea de a treia lege a lui Copernic este în mod nejustificat ignorată. În realitate, Soarele se mișcă de-a lungul unei linii spiralate, iar Pământul și celelalte planete îl urmează. Știința trebuie să includă ființa umană, dacă e să reflecte realitatea. Teoria relativității conduce 1a abstracțiuni. Spațiul și timpul sunt abstracții; doar viteza este reală. Cea de a treia lege a lui Copernic și corecțiile lui Bessel. Gândirea matematică căreia îi lipsește simțul realității conduce la ireal. În teoria multimilor numerele sunt dizolvate iar noi plutim în abstracțiuni. În Declinul Occidentului, Oswald Spengler dezvoltă în mod curajos concepte bazate pe realitate, dar aceste concepte nu se potrivesc unul cu celălalt. Hermann Keyserling oferă numai învelișuri goale de cuvinte.

STUTTGART, 15 ianuarie 1921

Studiul fenomenelor ca bază a extinderii antroposofice a cunoașterii. Formulele matematice trebuie verificate pe baza realității. Teoria căldurii. Teoria lui Einstein este bazată pe experimente gândite. Căldura de contact și cea radiantă ca pozitivă și negativă. Trebuie adăugată direcția radiară și centripetă a efectului. Poziția antroposofică nu precede fenomenele dar se bazează în mod corespunzător pe ele. În viitor, avem nevoie de o intensificare a adevăratei abordări științifice.

DORNACH, 7 aprilie 1921

În matematică, dimensiunile spațiale se pot schimba între ele. Nevoia de a distinge între mărginire și infinitate (Riemann). Conceptele metageometriei (geometrie neeuclidiană); Gauss. Spațiul matematic ‒ fie spațiul euclidian, spațiul lui Riemann sau al altor geometrii ‒ este abstract. Concepția lui Kant despre spațiu este anulată de matematică. Consecințele metageometriei conțin un cerc vicios. Pentru a obține un concept de spațiu care corespunde realității trebuie să începem cu experiența umană. Derivarea dimensiunii adâncimii care nu se poate schimba cu nicio altă dimensiune. Imaginația conduce la vizualizare bidimensională, inspirația la vizualizare unidimensională. În spațiul real dimensiunile nu se pot schimba între ele; există intensități diferite în direcții diferite. Spațiul fix este o abstracție derivată din spațiul real. Teoria relativității este logică dar străină de realitate.

DORNACH, 26 august 1921

Un scurt rezumat al cercetării științifice spirituale despre mișcarea spiralată a Pământului și Soarelui. Concluziile celor mai multe modele ale sistemului solar sunt unilaterale și rezultă din perspective foarte specifice. Soarele se mișcă pe o spirală iar Pământul îl urmează. În realitate se schimbă numai direcția din care privim de pe Pământ spre Soare. Toate celelalte mișcări sunt mult mai complicate. Cea de a treia lege a lui Copernic a fost omisă.

HAGA, 12 aprilie 1922

Generalizarea sistemului de axe de coordonate la un nivel abstract conduce la spații cu patru, cinci și în cele din urmă cu n dimensiuni. Hinton și tessarakt-ul. Timpul ca a patra dimensiune este bazat pe o înțelegere abstractă a spațiului. A patra dimensiune o neagă de fapt pe a treia, așa că rămân doar două dimensiuni. La fel, cea de a cincea dimensiune o neagă pe a doua și astfel rămânem cu o dimensiune. Pentru a explica forma unei flori trebuie să așezăm originea sistemului de coordonate într-o sferă infinit de mare și să ne mișcăm centripetal. În domeniul eteric apar mișcări de glisare și răzuire. Hiperbola, ca un exemplu. Prin geometria sintetică noi dezvoltăm treptat un mod de a manipula spațiul bazat pe realitate. Teoria relativității a lui Einstein este absolut corectă și de netăgăduit cu privire la spațiul tridimensional perceput. Lucrurile arată altfel atunci când facem tranziția la domeniul eteric. Corpul eteric ocupă spațiul total. Prin vederea interioară noi ajungem la absolut. Teoria relativității evaluează totul din perspectiva observatorului și nu poate fi combătută aici din această perspectivă. Totuși validitatea sa încetează atunci când intrăm în domeniul spiritual, unde granițele dintre obiect și subiect sunt de asemenea eliminate. Pentru a înțelege corpul fizic ca fiind un corp spațial și corpul forțelor formative ca fiind un corp temporal trebuie să separăm conceptele de spațiu și timp. Timpul este măsurat de obicei numai în unități spațiale. Nu acesta este cazul în experiența adevărată a timpului care apare odată cu vederea imaginativă. La un anumit moment în viața umană apare o secțiune temporală a vieții sufletului. Secțiunea include întregul trecut pământese al persoanei. Perspective care depind de viața noastră sufletească. „Mai târziu” și „mai devreme” sunt legate în mod organic și nu superficial, ca și relațiile spațiale. Mâinile împreunate la tinerețe devin mâini care binecuvântează la bătrânețe. Organismul temporal este revelat în întregime doar imaginației dar putem obține o idee despre el studiind procesele temporale în viața noastră sufletească. Ostwald spune că procesele organice, spre deosebire de procesele mecanice, nu sunt reversibile. În ființa umană elementul temporal este o realitate, pe când într-o mașină elementul temporal este doar o funcție a spațiului. Timpul real nu este o a patra dimensiune așa cum este în continuumul spațio-temporal a lui Einstein. Lumea timpului este de fapt lumea planului timpului; ea este bidimensională. Analogul său în geometria proiectivă este planul limită al spațiului tridimensional. Acesta joacă un rol în ceea ce este numit observator în lumea imaginativă. Perspectiva culorilor este un alt analog al lumii imaginative. Două dimensiuni devin reale în lumea imaginativă, o dimensiune în lumea inspirată. Lumea intuitivă este asemenea punctului (nuldimensională). Totuși acesta nu poate fi aplicat spațiului euclidian.

DORNACH, 29 decembrie 1922

Matematica este un produs al spiritului uman. Este dificil să se folosească matematica pentru a întrevedea realitatea. Tranziția de la o sferă la un plan proiectiv. Sarcini concrete pentru matematicieni: a înțelege realitatea în termeni matematici ‒ de exemplu, explicând spațiul tactil și vizual în termenii ecuațiilor diferențiale, care trebuie integrate conform cu metoda lui Lagrange. Variabilele pentru spațiul tactil sunt pozitive, iar pentru spațiul vizual sunt negative. Diferența integralelor este aproape zero. Calcule adiționale scot la iveală ecuațiile pentru acustică. Trebuie să învățăm să ne restricționăm calculele la domeniul realității concrete.

Note • Partea I

Note • Partea a II-a

Bibliografie

AcasăIndex GALucrări OnlineUrmătoarea