Biblioteca antroposofică

CăutareLucrări OnlineIndex GA324aPrecedentaUrmătoarea

Rudolf Steiner
A PATRA DIMENSIUNE

GA 324a

NOTE • PARTEA I

Conferința I ‒ Berlin, 24 martie 1905

1. János (Johann) Bólyai (1802-1860), matematician ungur. A studiat problema liniilor paralele și, alături de Carl Friedrich Gauss și Nikolai Ivanovici Lobacevski, este considerat unul din fondatorii geometriei neeuclidiene hiperbolice. Articolul despre acest subiect, unica sa publicație, a apărut în 1832 ca o anexă la textul matematic scris de tatăl lui, Farkas (Wolfgang) Bólyai (1775-1856). Pentru mai multe informații despre cei doi Bólyai, vezi Stäckel [1913].
   
   Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matematician și fizician din Gottingen. Unul dintre primii care a tratat problema paralelelor și a conchis că explicarea ei cerea o geometrie neeuclidiană. (Nota traducătorului: de fapt, foarte multă vreme s-a crezut că nu ar fi o axiomă și că, prin urmare, s-ar putea demonstra pe baza celorlalte axiome, adică pe baza așa-numitei geometrii absolute. Fiecare așa-zisă demonstrație conținea însă, sub o formă mascată, postulatul paralelelor. În cele din urmă, cei trei matematicieni citați mai sus au ajuns la concluzia că acesta nu se poate demonstra și că înlocuindu-l cu postulate care îl neagă se obțin sisteme necontradictorii, deși evident contrare „intuiției” euclidiene, așa-numitele geometrii neeuclidiene, cele hiperbolice cum este cea a lui Lobacevski-Bolyai și cele eliptice cum este cea a lui Riemann. Primul exemplu rezultă prin „altoirea” pe trunchiul geometriei absolute a postulatului care afirmă că printr-un punct exterior unei drepte se pot trasa cel puțin două paralele la acea dreaptă, iar cel de-al doilea exemplu rezultă din „altoirea” pe același trunchi a postulatului care afirmă că printr-un punct exterior unei drepte nu se poate trasa nicio paralelă la acea dreaptă.) Niciunul dintre studiile sale asupra acestui subiect nu a fost publicat în timpul vieții lui. Vezi Reichardt [1976].
   
   Bernhard Riemann (1826-1866), matematician din Gottingen și primul care a descoperit geometria neeuclidiană eliptică. Teza sa despre Ipotezele de la baza geometriei a dezvoltat geometria diferențială prin generalizarea ei în spațiul n-dimensional. Aceasta a oferit un stimulent pentru cercetare (pe atunci în copilăria ei) în spații multidimensionale. Riemann a fost primul care a făcut deosebire între nemărginirea și infinitatea spațiului; prima este o expresie a relațiilor spațiale, adică a structurii geometrice a spațiului (topologia), în timp ce ultima este o consecință a relațiilor numerice. Această distincție a condus la diferențierea clară dintre topologie și geometria diferențială. Vezi Scholz [1980].
2. Immanuel Kant a atras atenția asupra acestui fenomen în cartea sa Prolegomena [1783], § 13: „Ce poate fi mai asemănător, în toate părțile sale, cu mâna mea sau cu urechea mea decât imaginea ei în oglindă? Și totuși nu pot înlocui originalul prin ceea ce văd în oglindă, pentru că, dacă originalul este mâna dreaptă, imaginea sa în oglindă este o mână stângă iar imaginea unei urechi drepte este o ureche stângă și nu poate lua locul originalului ei. Nu există între ele diferențe raționale, intrinsece, și totuși simțurile noastre ne învață că ele sunt într-adevăr intrinsece deosebite deoarece în ciuda tuturor asemănărilor mâna stângă nu este conținută între aceleași frontiere ca și mâna dreaptă (adică nu sunt congruente) iar o mănușă care se potrivește pe o mână nu poate fi purtată de cealaltă.” Vezi de asemenea lucrările lui Kant Lebendige Kräfte (Forțe vii) [1746], §§9-11, și Gegenden im Raum (Domenii în spațiu) [1768]. Kant a luat acest fenomen ca o dovadă că ființele umane sunt capabile de a cuprinde numai percepțiile senzoriale ale obiectelor ‒ adică aparențele lor și nu natura lor intrinsecă. Pentru o analiză a concepției lui Kant despre spațiu cu privire la problema dimensiunii, vezi Zöllner, Wirkungen in die Ferne (Efecte la distanță) [1878a], pp. 220-227.
3. Figurile simetrice în oglindă care sunt așezate în același plan, care sunt deci simetrice față de o axă, pot fi făcute să coincidă prin mișcări spațiale continue. Dacă F este o figură în plan și F' figura sa oglindită de cealaltă parte a axei a, F poate fi făcută să coincidă cu F' printr-o rotire spațială în jurul axei a. Figura 68 arată câteva stadii ale acestei rotații în proiecție normală pe plan.
   
   
   Interpretată ca figură plană, această transformare reprezintă o proiecție ortogonală pe axa a. (În sensul geometriei proiective, aceasta este o perspectivă de axă a și centrul A pe linia de la infinit a planului.) În proiecția sa pe plan, figura rotită prin spațiu pare a pierde o dimensiune trecând prin axa a și devine paralelă cu direcția de proiecție. Observați că contururile figurilor F și F' pot fi făcute să coincidă prin rotații în plan (adică în jurul unor puncte din plan) numai dacă sunt desfăcute în segmente de dreaptă care sunt rotite în jurul anumitor puncte de pe axa a. Printr-o operație analogă, cele două figuri geometrice tridimensionale F și F', care sunt imagini în oglindă față de planul a, pot fi transformate una în cealaltă printr-o afinitate ortogonală tridimensională cu planul a ca plan al afinității (figura 69). Această transformare poate fi interpretată ca o proiecție ortogonală (în spațiul tridimensional) a unei rotații euclidiene cvadridimensionale în jurul planului a. În această proiecție, figura tridimensională F pare că pierde o dimensiune trecând prin planul bidimensional a.
   
   Dacă suprafața lui F este desfăcută în fețele corespunzătoare, acestea pot fi rotite în jurul axelor corespunzătoare din planul a pentru a forma suprafața lui F'.
   
   
   
   Bazându-și teoriile pe această analogie dintre figurile simetrice bi și tridimensionale, August Ferdinand Möbius a fost, se pare, primul matematician care a conceput posibilitatea unui spațiu cvadridimensional în care figurile simetrice tridimensionale pot fi făcute să coincidă fără întreruperea contactului (vezi Calculul baricentric al lui Möbius [1827], §140, notă). Totuși el a respins această idee ca fiind „imposibil de gândit” și nu a urmat-o mai departe.
4. Faptul că avem doi ochi face posibilă percepția adâncimii; vezi, de asemenea, răspunsurile la întrebările lui A. Strakosch, 11 martie, 1920, retipărite în acest volum. Despre semnificația activității independente în perceperea dimensiunii adâncimii vezi întrebările și răspunsurile din 7 aprilie 1921 (GA 76, retipărit aici) și nota 17 de mai jos.
5. (Johann Karl) Friedrich Zollner (1834-1882), astrofizician din Leipzig, considerat unul dintre fondatorii astrofizicii pentru contribuțiile experimentale și teoretice la fotometrie și spectroscopie. Teoria lui despre structura cometelor a deschis direcții pentru toate cercetările ulterioare. Cartea sa Despre natura cornetelor Contribuții la istoria și teoria cunoașterii (1886), ca aproape toate tratatele sale, conține comentarii filosofice și istorice de mare răsunet, ca și critici polemice ale activității științifice a contemporanilor săi.
   
   În legătură cu studiile sale despre Principiile teoriei electrodinamice a rnateriei [1876], Despre efectele la distanță [1878a] și Despre natura cometelor [1886], Zöllner a devenit familiar cu studiile contemporane ale geometriei neeuclidiene și multidimensionale. Până la începutul anilor 1870 el a presupus că numai spațiul curb sau o a patra dimensiune ar putea explica anumite fenomene din fizică. În jurul anului 1875, cercetările chimistului și fizicianului William Crookes (1832-1919) l-au determinat pe Zöllner să studieze spiritismul. El a dezvoltat ideea că existența fenomenelor spiritiste s-ar putea explica prin presupunerea existenței spațiului cvadridimensional și că aceste fenomene au dovedit că spațiul cvadridimensional este o realitate și nu doar o simplă posibilitate conceptuală (Zöllner [1878a], pp. 273 și urm.). La scurt timp, Zöllner a început propriile sale studii asupra fenomenelor spiritualiste (vezi [1878b], pp. 752 și urm.; [1878c], pp. 330 și urm.; și în mod special [ 1878d]).
   
   Pentru o sinteză a experimentelor spiritiste ale lui Zöllner, vezi Luttenberger [1977]; pentru o analiză contemporană a lui Zöllner vezi Manifestările spiritiste a lui Simony [1884]. Despre spiritism în general vezi Hartmann, Ipoteza spiritelor [1891 ] și Spiritism [1898]. Despre istoria spiritismului, din punctul de vedere al lui Rudolf Steiner, vezi conferințele lui din 1 februarie și 30 mai 1904 (GA 52) și conferințele din 10-25 octombrie, 1915 (GA 254). Zöllner a conceput „lucrurile în sine” ale lui Kant ca fiind obiecte cvadridimensionale reale proiectate în spațiul perceptibil ca obiecte tridimensionale. El a găsit demonstrația acestui mod de gândire în existența figurilor tridimensionale simetrice în oglindă care deși congruente din punct de vedere matematic nu pot fi făcute să coincidă fără a pierde contactul una cu cealaltă [în trei dimensiuni] (vezi nota 3): „De fapt, spațiul care poate explica fără contradicții lumea pe care o vedem trebuie să posede cel puțin patru dimensiuni, fără de care existența actuală a figurilor simetrice nu poate fi niciodată redusă la o [singură] lege” (Zöllner [1878a], p. 248). Zöllner considera ideile lui Kant ca fiind precursoare ale propriilor sale vederi (vezi nota 2).
   
   În eseul citat, Zöllner descrie unele din caracteristicile unice ale tranziției de la a treia la a patra dimensiune. Atât considerațiile sale teoretice cât și experimentele spiritiste sunt bazate pe aceste caracteristici. El începe cu o discuție despre noduri în spațiul tridimensional și atrage atenția asupra faptului că ele pot fi deznodate numai dacă „porțiuni ale corzii dispar temporar din spațiul tridimensional în măsura în care este vorba de ființe de aceeași dimensionalitate (vezi nota 15). Același lucru s-ar întâmpla dacă printr-o mișcare executată în cea de a patra dimensiune un corp ar fi îndepărtat dintr-un spațiu tridimensional închis și reașezat în afara acestuia. Astfel pare posibil să anulăm așa-numita lege a impenetrabilității materiei în spațiul tridimensional într-un mod întru totul analog pentru a îndepărta un obiect din interiorul unei curbe închise conținută într-un plan prin ridicarea obiectului peste linia curbei fără a o atinge” (Zöllner [1878a], p. 276). Vezi, de asemenea, nota 6.
6. O perpendiculară poate fi construită în orice punct al unei suprafețe bidimensionale. Dacă un punct P se mișcă în sus de-a lungul perpendicularei, se distanțează de toate punctele suprafeței fără să-și schimbe proiecția M pe suprafață. Dacă M este centrul unui cerc, în timp ce punctul P se îndepărtează de suprafață, el rămâne echidistant de toate punctele cercului, deși această distanță crește continuu. Dacă lăsăm punctul P să se miște de-a lungul perpendicularei până când distanța de la centrul M devine mai mare decât raza cercului și apoi rotim perpendiculara până când se așază în planul cercului, punctul P se va fi mutat în afara cercului fără a intersecta circumferința.
   
   În mod analog, un punct P aflat în interiorul unei sfere poate ieși din interiorul acesteia fără a-i străbate suprafața de îndată ce facem apel la cea de a parta dimensiune. Orice punct aflat în spațiul tridimensional poate părăsi acest spațiu și poate pătrunde în spațiul tridimensional în lungul unei drepte perpendiculare fără a atinge vreun punct din spațiul originar. Dacă îndepărtăm punctul central al unei sfere din spațiul tridimensional în acest mod, punctul M se va distanța din ce în ce mai mult de toate punctele suprafeței sferei în mod egal. De îndată ce distanța față de locul inițial M este mai mare decât raza sferei punctul a fost scos din sferă și operația poate deveni vizibilă prin rotirea liniei drepte în lungul căreia s-a deplasat puncul, ajungându-se din nou în spațiul tridimensional.
7. Arthur Schopenhauer (1788-1869): „Lumea este reprezentarea mea; acesta este un adevăr care se aplică oricărei ființe vii, cunoscătoare” (Lumea ca voință și reprezentare, vol I, §I [1894], p. 29.
8. Rudolf Steiner folosește, de asemenea, acest exemplu în cartea sa Filosofia libertății (GA 4), capitolul VI, „Individualitatea umană”, p. 106. Vezi, de asemenea, conferința sa din 14 ianuarie, 1921 (GA 323, p. 252).
9. Rudolf Steiner discută aceste dificultăți în detaliu în Filosofia libertății (GA 4), capitolul IV, „Lumea ca percepție” și în introducerea sa la Lucrările de științe naturale ale lui Goethe (GA 1), capitolul IX, „Epistemologia lui Goethe”, și capitolul XVI. 2, „Fenomenul arhetipal”.
10. Rudolf Steiner folosește, de asemenea, această comparație în conferința sa din 8 noiembrie 1908 (GA 108) în care investighează mai îndeaproape relația dintre senzație, percepție, reprezentare și noțiune.
11. Strict vorbind, această afirmație despre tranziția de la cerc la linia dreaptă este valabilă numai în geometria euclidiană. În geometria proiectivă cercul coincide atât cu tangenta care rămâne fixă cât și cu dreapta de la infinit (vezi Locher [1937], capitolul IV, în mod special pp. 69 și urm.). Numai atunci când planul euclidian devine plan proiectiv prin încorporarea dreptei de la infinit este posibil să treacă prin infinit (vezi, de asemenea, Ziegler [1992], capitolul III).
12. Acest fenomen este legat direct cu faptul geometric că este imposibil să treci prin infinit fară să părăsești domeniul geometriei euclidiene (vezi nota 11). Cu alte cuvinte, punctul pe care ni-l imaginăm mișcându-se într-o direcție nu este transformat în punctul pe care ni-l imaginăm întorcându-se înapoi din cealaltă parte. Ceea ce leagă cele două porțiuni ale liniei drepte pe care le putem imagina senzorial ca fiind legate prin infinit este legitatea pe care o putem înțelege, ceea ce le separă este alcătuirea lor reprezentată a fi din puncte.
13. Rudolf Steiner folosește în mod repetat metafora sigiliului, a cerei de sigilat și a amprentei, în legătură cu considerațiile epistemologice, cu privire la relația dintre lumea obiectivă și conștiența individuală a celui ce cunoaște. Aspectul decisiv al acestei metafore este acela că în ea, ca în domeniul psiho-fizic, transmiterea formei nu este legată de transmiterea substanței. Vezi, de asemenea, eseul lui Steiner Filosofie și antroposofie (GA 35) și Fundamentele psihologice și poziția epistemologică a antroposofiei (GA 35), p. 138.
14. Oskar Simony (1852-1915), matematician și om de știință din Viena, fiul geografului și cercetătorului alpin Friedrich Simony (1812-1896) și profesor la Colegiul de Agrotehnică din 1880 până în 1913. Studiile sale matematice se referă mai ales la teoria numerelor, topologia experimentală a nodurilor și suprafețelor bidimensionale din spațiul tridimensional (vezi Müller [1931] și [1951]). Unele din modelele pe care le menționează Steiner sunt ilustrate în tratatele lui Simony.
    
    Implicarea lui Simony în topologie era inspirată de întâlnirile lui cu experimentele spiritiste ale lui Zöllner (vezi nota 5). El s-a simțit înclinat să studieze problemele spațiale puse de descoperirea geometriei neeuclidiene și a celei multidimensionale. Investigațiile sale s-au extins la a include considerații psihologice și epistemologice (vezi Simony [1883], [1884], [1886]). Simony știa că nu trebuie să se confunde domeniul empiric cu cel al ideilor matematice.
    
    Ca matematician, posibilitatea conceptuală a spațiului cvadridimensional nu era o problemă pentru el, dar nu putea să accepte teza lui Zöllner că toate obiectele în spațiul tridimensional sunt proiecții ale obiectelor cvadridimensionale care nu sunt senzorial perceptibile. Totuși intenția sa nu era să respingă existența fenomenelor spiritiste neobișnuite. Dimpotrivă, el a susținut, ca și Zöllner, necesitatea unor investigații științifice exacte ale unor asemenea fenomene. El a arătat, de asemenea, cum fenomenele spiritiste relatate de Zöllner ar putea fi demonstrate folosind metodele tradiționale ale fizicii și psihologiei sau cel puțin reconciliate cu aceste domenii (Simony, Manifestări spiritiste [1884]) . El a simțit că era important să se demonstreze că explicarea unor asemenea fenomene nu cerea părăsirea spațiului empiric tridimensional. El a arătat că ipoteza lui Zöllner despre existența spațiului cvadridimensional contrazicea experiența noastră obișnuită a spațiului; dacă această ipoteză este corectă, obiectele din spațiul tridimensional obișnuit al fizicii sunt imagini-umbră pe care le putem schimba după voie, fără să avem acces la prototipurile lor (Simony [1881b], §6 și [1884], pp. 20 și urm.). Așa cum s-a arătat, prin exemplul unei umbre proiectată de un obiect tridimensional pe o suprafață nu este posibilă nicio schimbare a umbrei fără accesul direct la obiectul care o aruncă.
    
    Experimentele topologice ale lui Simony intenționau să investigheze natura spațiului tridimensional empiric opus spațiului curb sau oricărui spațiu matematic imaginabil: „Fenomenele investigate aici, de vreme ce aparțin domeniului simțurilor, pot fi încorporate doar într-o geometrie empirică, fără să fie puse în legătură cu așa-numita teorie a varietăților superioare. În plus, cursul dezvoltării pe care l-am ales eu face de asemenea clar de ce în investigarea diverselor secțiuni de primul și al doilea ordin am evitat să folosesc atât geometria analitică cât și calculul infinitezimal, pentru a rămâne independent de orice ipoteză posibilă despre natura spațiului perceput” ([1883], pp. 963 și urm.).
    
    Ca matematician, Simony era interesat în mod special de felul în care se dezvoltă nodurile în suprafețe inelare curbate și în suprafețe închise neînnodate, în forma de cruce. El a demonstrat că asemenea suprafețe pot fi tăiate în moduri care sau nu le distrug caracterul de închidere sau produc noduri în anumite circumstanțe (Simony [1880], [1881a], [1881 b]). Cel mai simplu și mai faimos exemplu de acest gen este menționat de Rudolf Steiner în conferința sa, o bandă răsucită la 720° și închisă inelar.
15. În spațiul cvadridimensional nu există noduri; adică fiecare nod dintr-un fir sau o panglică închisă poate fi dezlegat pur și simplu prin tragerea firului sau panglicii, fără tăiere.
    
    Felix Klein (1848-1925) pare să fi fost primul matematician care a atras atenția asupra acestui fenomen la începutul anilor 1870. Conform unei relatări a lui Zöllner [1878a], Klein a vorbit cu el in timpul unei conferințe științifice despre acest subiect cu puțin timp înainte de a publica un tratat în care discuta în treacăt această temă. Klein s-a referit, de asemenea, la această întâlnire și a exprimat opinia că aceasta a inspirat teza lui Zöllner despre existența spațiului cvadridimensional și a semnificației sale în explicarea fenomenelor spiritiste (Klein [1926], pp. 169 și urm.). În timp ce Klein ([1876], p. 478) discută subiectul doar în termeni generali, Hoppe [1879] folosește un exemplu formulat analitic pentru a dezlega în mod concret un nod simplu tridimensional în spațiul cvadridimensional (vezi, de asemenea, Durège [1880] și Hoppe [1880]).
    
    În Efecte la distanță ([1878a], pp. 272-274), Zöllner demonstrează desfacerea nodurilor în spațiul cvadridimensional cu ajutorul unei analogii. El cercetează mai întâi desfacerea unui nod bidimensional într-o curbă închisă (figura 70): fără a tăia curba, întretăierea. (Nota traducătorului: autointersecția nu poate fi eliminată dacă rămânem în plan, dar, rotind o secțiune a curbei prin spațiul tridimensional în jurul unei linii drepte așezată în plan, pot fi evitate autointersecțiile.)
    
    
    „Dacă aceste considerații sunt transferate printr-o analogie la un nod din spațiul tridimensional, este ușor de văzut că un asemenea nod poate fi legat și dezlegat numai prin operații în care elementele firului descriu o curbă dublu îndoită.” Fără a fi tăiat, acest nod nu poate fi dezlegat în spațiul tridimensional. „Dacă totuși ar exista printre noi ființe capabile să facă mișcări cvadridimensionale cu obiecte materiale, aceste ființe ar fi în stare să lege și să dezlege asemenea noduri cu ajutorul unei operații complet analoge cu dezlegarea nodului descrisă anterior. [...] Observațiile mele asupra formării nodului dintr-un fir flexibil în diferite dimensiuni ale spațiului au fost inspirate de comunicările orale ale lui Felix Klein, profesor de matematică din Munchen.”
    „În mod clar, în operațiile indicate aici, porțiuni ale firului trebuie să dispară temporar din spațiul tridimensional, în măsura în care o pot percepe ființele cu aceeași dimensionalitate.” (Zöllner [1878a], Pp. 273-276).
    
    Desfacerea unui nod în spațiul tridimensional este într-adevăr posibilă întotdeauna dacă sunt permise autoîntretăierea, sau trecerea printr-a patra dimensiune, de vreme ce ultima face posibile rezultatele autoîntretăierii fără autoîntretăiere (vezi Seifert/Threlfall [1934], p. 3 și p. 315). Tot ce trebuie să facem este să rotim o secțiune anume a curbei din planul α în jurul planului β prin spațiul cvadridimensional (figura 71).
    
    
16. Fiind dată o panglică răsucită cu 360° înainte de a-i fi unite capetele într-un inel, se obține o suprafață care este echivalenta cvadridimensională a unui inel cilindric (figura 72).
    
    
    Cu alte cuvinte, răsucirile care sunt multiplu întreg de 360° pot fi desfăcute în spațiul cvadridimensional (vezi discuțiile de mai jos). Este de presupus că Simony era conștient de acest fenomen, deși el nu-l menționează explicit în lucrările sale de topologie, de vreme ce era preocupat în primul rând de calitatățile empirice ale spațiului tridimensional. Echivalența unei benzi cilindrice nerăsucite în spațiul tridimensional și a unei benzi cu o răsucire de 360° în spațiul cvadridimensional rezultă din faptul că ambele inele sunt caracterizate de două muchii care nu se intersectează. În al doilea caz, aceste muchii curbe sunt răsucite una în jurul celeilalte, pe când în primul caz ele nu sunt. În spațiul cvadridimensional răsucirea poate fi desfăcută fără vreo suprapunere, transformând inelul răsucit într-un inel nerăsucit (vezi tranziția de la figura 73 la figura 74).
    
    
    Observați că această operarie nu poate fi făcută asupra așa-numitei benzi Mobius, un inel cilindric încorporând o răsucire de 180° (figura 75). Această suprafață are doar o singură muchie; chiar în spațiul cvadridimensional nu poate fi transformată într-un inel nerăsucit în niciun fel fără a tăia suprafața. (Acest fenomen are de-a face cu faptul că o asemenea suprafață nu poate fi orientată; vezi Seifert/Threlfall [1934], §2. Banda Möbius a fost descrisă pentru prima dată de către Möbius [1865], §11.)
    
    
17. Geometric vorbind, viziunea statică într-un plan sau în spațiu poate fi interpretată ca proiecția centrală a obiectelor din plan sau spațiu pe o suprafață. De aceea unei ființe tridimensionale cu acest tip de vedere toate obiectele i-ar apărea ca fiind proiectate pe o suprafață. Această ființă are o impresie indirectă a celei de a treia dimensiuni numai dacă este în stare să vadă dinamic, adică dacă aparatul său vizual include două direcții de proiectare și dacă are abilitatea să le pună de acord. Dacă nu, o asemenea ființă ar fi în stare să deducă că există a treia dimensiune (așa cum fac oamenii cu vedere monoculară pe baza experienței și a numeroaselor ocazii de comparație), dar nu ar fi în stare să o experimenteze. Chiar faptul că ființele umane au vedere tridimensională e o dovadă a naturii noastre cvadridimensionale, pe care nu o putem percepe senzorial, deși o putem deduce.
    
    Pe baza geometriei și fizicii, Charles Howard Hinton (1853-1907) a ajuns și el la concluzia că ființele umane trebuie să aibă patru sau chiar mai multe dimensiuni. „Poate fi argumentat că simetria, indiferent de dimensiune, este dovada unei acțiuni într-o dimensionalitate superioară. Astfel, cu privire la ființele vii există dovada, atât în structura lor cât și în diferitele lor moduri de acțiune, a ceva ce intră de afară în lumea anorganică” (Hinton, A patra dimensiune [1904], p. 78).

Conferința a II-a ‒ Berlin, 31 martie 1905

18. Charles Howard Hinton (1853-1907), matematician și scriitor. Hinton a fost putemic influențat de tatăl său, James Hinton (1822-1875), un chirurg care a scris și el eseuri, incluzând câteva despre arta de a gândi în care respingea orice restricții artificiale impuse gândirii sau experienței de reglementări de comportare religioase, sociale sau juridice. Prin legătura părinților săi cu Mary Everest Boole (1832-1916), văduva matematicianului și logicianului George Boole (1815-1864), Hinton a întâlnit-o pe fiica lui Boole, Mary Ellen, viitoarea sa soție. Hinton a studiat matematica la Oxford și a predat la diverse instituții înainte de a părăsi Anglia și de a pleca în Japonia, în 1886. A trăit în Japonia până în 1891, apoi și-a petrecut restul vieții în Statele Unite.
    
    Căutarea certitudinii i-a provocat în 1875 o serioasă criză. El a recurs la ideea că numai aranjarea obiectelor în spațiu ar putea conduce la o cunoaștere absolut certă. În preocupările sale cu exerciții de gândire privind aranjarea cubului divizat în cuburi mai mici, el a încercat să se elibereze de toate limitările subiective impuse ca, de exemplu, conceptele de „deasupra” și „dedesubt” (Casting Out the Self [1886], pp. 205-229). În acest proces, el a întâlnit problema subdivizării imaginii oglindite a două cuburi și s-a întrebat dacă acest fenomen nu s-ar putea dovedi a fi și el determinat în mod subiectiv. În timp ce investiga această problemă, el a descoperit un tratat de Friedrich Zö llner despre a patra dimensiune [1878e] în Quarterly Journal of Science (editat de William Crookes). În acest articol, Zollner prezintă pe scurt experimentele și opiniile sale despre realitatea celei de a patra dimensiuni. Crookes (chimist și fizician) și Zollner aparțineau ambii grupului de cercetători universitari care încercau, deși cu puțin succes, să folosească metodele științifice pentru a aborda spiritismul.
    
    Hinton și-a petrecut resul vieții studiind problema celei de a patra dimensiuni. Lucrările sale s-au concentrat asupra popularizării ideilor despre spațiul cu patru dimensiuni și se ocupau în mod special cu felul în care trebuie dobândită abilitatea de a-l vizualiza. În legătură cu asta Hinton a studiat tranziția de la a doua la a treia dimensiune în diferite moduri pentru a crea un fundament solid pentru descrierea celei de a patra dimensiuni în spațiul tridimensional perceptibil. În particular el a dezvoltat exerciții metodice pentru dobândirea unei concepții consecvente despre spațiul tridimensional, iar pentru o vreme a păstrat opinia că este posibilă în același fel și dobândirea unei concepții nonsenzoriale a spațiului cvadridimensional (vezi O nouă eră de gândire [1900] și A patra dimensiune [1904]). Hinton credea că lumea include o extensie materială în cea de a patra dimensiune și încerca să demonstreze această ipoteză prin diverse experiențe în psihologie și fizică. Această concepție a întâlnit rezistență atât din partea materialiștilor care acceptau existența a doar trei dimensiuni cât și din partea spiritiștilor care preferau să interpreteze a patra dimensiune ca având un caracter pur spiritual (vezi Ballard [1980]). Hinton a fost un scriitor controversat, intens citit și foarte respectat de publicul laic, în mod special de teosofi și artiști avangardiști (vezi Henderson [1983], [1985] și [1988]). El a fost respins sau ignorat în cercurile academice.
19. Vezi explicațiile corespunzătoare din conferința precedentă.
20. Vezi Rudolf Steiner, Știința ocultă în rezumat (GA 13), capitolul IV: „Evoluția cosmică și ființa umană”
21. Nu este posibilă pur și simplu o reconstrucție a ceea ce Steiner a vrut sa spună prin această analogie și nu există nimic în lucrările lui Hinton care să corespundă cu acest tip de ideație. Deși și Hinton folosește culori pentru a ilustra tranziția de la a doua la a treia dimensiune și în mod special tranziția de la a treia la a patra dimensiune, el le utilizează într-un mod foarte diferit. În conferința sa din 24 mai, 1905, retipărită în acest volum, Steiner recapitulează gândurile lui Hinton despre acest subiect.
    
    Fundamentul geometric al gândurilor lui Steiner, prezentate aici, este următorul: un segment de dreaptă împărțit în jumătate poate fi transformat într-un pătrat permițând fiecărei jumătăți de segment să fie latura comună a două pătrate mai mici, adiacente. Rezultatul este un pătrat mai mare împărțit în patru pătrate mai mici (figura 16). Un cub împărțit în opt cuburi mai mici poate fi construit permițând fiecărui pătrat mic să devină suprafaț:a comună a două cuburi adiacente (figura 17). Figura cvadridimensională corespunzătoare, cubul cvadridimensional, rezultă când fiecare din cele opt cuburi mai mici ale cubului tridimensional este interpretat ca granița comună a două cuburi cvadridimensionale. Rezultatul este un cub cvadridimensional împărțit în 16 cuburi cvadridimensionale.
    

Conferința a III-a ‒ Berlin, 17 mai 1905

22. Domnul Schouten după toate probabilitățile, este vorba de Jan Arnoldus Schouten (1883-1971), matematician olandez din Delft.
    
    În arhivele Rudolf Steiner Nachlassverwaltung există o scrisoare a lui Schouten către Steiner. Partea care se referă la această conferință este următoarea:
    
    Delft
    1 decembrie 1905
    
    Stimate domnule doctor,
    Înainte de a pleca acasă în iulie, în acest an, m-am oprit să vă spun la revedere, dar din păcate dumneavoastră erați deja plecat. Ca urmare, modelele folosite pentru conferința dumneavoastră se află încă în posesia dumneavoastră. De vreme ce intenționez să țin câteva conferințe despre a patra dimensiune, aș dori să vă rog cât se poate de prietenește să-mi trimiteți modelele. Aceste conferințe sunt destinate mai multor cercuri, incluzându-l pe cel din Delft, care a fost fondat cu puțin timp în urmă.
    
    
    Al dumneavoastră sincer,
    J. A. Schouten
    M.T.S.
    
    După ce a studiat ingineria electrică la colegiul tehnic din Delft, Schouten și-a practicat profesia pentru câțiva ani la Rotterdam și la Berlin. Pentru a fi în stare să înțeleagă teoria generală a relativității, Schouten a studiat matematica de unul singur și a scris cartea Grundlagen der Yektor ‒ und Affinoranalysis [ 1914] pe care a prezentat-o ca disertație la Universitatea din Delft. La puțin timp după aceea a fost numit profesor la Delft, unde a rămas până în 1943.
    
    Cartea lui Schouten, cu o dedicație personală a autorului, a fost găsită în biblioteca lui Rudolf Steiner. Mama lui Schouten, H. Schouten, era membră a Societății teosofice și mai târziu a Societății antroposofice. Până acum a fost găsită numai o indicație a legăturii dintre Schouten și Rudolf Steiner, într-o scrisoare (de asemenea din arhiva Steiner) de la mama lui Schouten către Rudolf Steiner, datată 4 martie, 1913. În această scrisoare se spune printre altele:
    
    „Am fost foarte încrezătoare că fiul meu, intenționând să renunțe la Societatea teosofică, va deveni membru al Societății antroposofice, dar el spune că pentru moment nu poate să facă acest lucru cu o conștiință clară pentru că nu a fost în stare să țină pasul cu studiile sale teosofice. Mi-a spus că își face un scop din a studia serios tot ceea ce întreprinde în viața lui, și asta pentru că propria lui muncă academică cere foarte mult de la el deocamdată, așa încât nu este în stare pentnt moment să reia din nou studiile teosofice. Primul manuscris al lucrării sale a fost trimis la Academia Regală. În plus, el ține conferințe săptămânal despre matematică la Delft și despre electricitate la Rotterdam. În săptămâna în care veți fi la Haga, Societatea de filosofie din Amsterdam i-a cerut să țină o conferință despre conceptele sale de matematică imaterială. Slavă Domnului, atât el cât și soția lui au asimilat adevărurile despre reîncarnare și karmă. Ei ar dori să participe la conferințele dumneavoastră publice, iar fiut meu crede că și unii din colegii lui ar putea participa dacă subiectul li se pare interesant. Sper că dumneavoastră și fiul meu veți găsi prilejul să vă întâlniți.”
    
    Primul articol al lui Schouten din Verslagen en Mededeelingen der Koninglijke Akademie van Wetenschappen a apărut în 1917 în volumul 26; un articol din Verhandelingen der Koninglijke Akademie van Wetenschapen te Amsterdam a apărut în 1918, în volumul 12.
23. Cronos (a nu fi confundat cu Chronos sau Timpul) este unul din fii lui Uranus și al Geei. S-a căsătorit cu sora lui Rhea care a dat naștere la trei fete (Hestia, Demetra și Hera) și la doi fii (Poseidon și Zeus). Cronos i-a devorat pe toți, cu excepția lui Zeus, pe care Rhea l-a încredințat mamei ei, Geea. (Vezi Kerenyi, Die Mytologie der Griechen [ 1966], vol. I, capitolul I, secțiunile 1 și 2.)
24. Vezi Teosofia lui Rudolf Steiner.
25. Johann Wolfgang von Goethe (1749-1832). Conversații ale unor emigranți germani, Basmul: Între timp regele de aur spuse omului cu lampa: „Câte taine cunoști?” „Trei”, răspunse bătrânul. „Care este cea mai importantă?” „Cea revelată”, răspunse bătrânul.
26. Platon (427-347 î.Ch.). Timaeus 36b-37a. Vezi, de asemenea, Creștinismul ca fapt mistic (GA 8, pp. 65 și urm.).

Conferința a IV-a ‒ Berlin, 24 mai 1905

27. În cursul vieții sale, Hinton a dezvoltat și popularizat nu una ci mai multe metode de reprezentare a spațiului cu patru dimensiuni în spațiul tridimensional perceptibil. El a fost remarcat mai mult pentru lucrările de popularizare ale acestui subiect decât pentru originalitatea sa matematică. Vezi lista lucrărilor lui Hinton în Bibliografie.
28. Hinton a folosit câteva sisteme de culori și distribuții de culori. El vedea reprezentarea bidimensională a figurilor tridimensionale ca pregătire pentru reprezentarea tridimensională a figurilor cvadridimensionale (vezi O nouă eră de gândire [1900], partea a II-a, capitolele I-IV și VII, și A patra dimensiune [1904], capitolele XI-XIII). Steiner pare să se fi referit la o versiune mult simplificată a unuia dintre sistemele lui Hinton.
    
    Nu este evident din contextul conferinței dacă Steiner a intenționat ca culorile să sugereze atribute specifice ale dimensiunilor corespunzătoare, dar pare improbabil. Diferitete transcrieri ale conferinței diferă substanțial în acest loc, probabil datorită diferitelor moduri de a adapta folosirea culorii de către Steiner (în mod special albul), trecându-le de la tabla neagră la hârtia albă.
29. Aceste modele nu s-au găsit printre lucrurile lui Steiner după moartea sa. Probabil ele au fost returnate lui J.A. Schouten (vezi scrisoarea din nota 22).
30. Un cub mărginit de șase suprafețe poate fi creat mișcând un pătrat cu cele patru laturi ale sale în spațiul tridimensional. Cele șase suprafețe constau din pătratele de început și de sfârșit, plus cele patru produse de laturile în mișcare. Aceasta apare evident în proiecția paralelă a acestei mișcări pe un plan ‒ adică în spațiul bidimensional (vezi figura 88). La fel, mișcarea unui cub cu șase suprafețe în spațiul cvadridimensional creează o figură cu opt cuburi formând frontierele sale ‒ cubul inițial și cel final, plus șase cuburi create prin mișcarea fețelor ‒, așa cum este ușor de văzut dintr-o proiecție paralelă a mișcării cubului în spațiul tridimensional (vezi figura 90).
31. Hinton pare să fi atribuit termenul tessarakt figurii cvadridimensionale analogă cubului. Pronunția tesserakt apare de asemenea în lucrările sale.
32. A patra dimensiune [1904], de Hinton, capitolul XII, conține aproape același raționament și figuri identice.
33. Faust, de Goethe, partea I, scena 4, camera de studiu a lui Faust, versetul 2065:
    
    Mefisto:
    Întindem acum pur și simplu mantia
    Care ne va purta pe amândoi prin aer.
    Dar nu adu o boccea prea mare
    În timp ce faci acest pas îndrăzneț.
    Puțin aer de foc ce eu voi pregăti
    Ușor ne va ridica de la pământ
    Deveniți mai ușori, repede noi ne vom ridica;
    Felicitări în noua ta carieră!
34. Geneza 1:2. Vezi Rudolf Steiner, Geneza. Misterul biblic al Creației (GA 122), în mod special conferința din 20 august, 1910.
35. Ibidem.

Conferința a V-a ‒ Berlin, 31 mai 1905

36. Vezi nota 30.
37. Situația descrisă aici corespunde cu figura 76, în cazul unui cub desfășurat în plan:
    
    
    Poziția pătratului 6, direct deasupra pătratului 5, nu poate fi descrisă în mod direct în plan. Latura superioară a pătratului 2, latura inferioară a pătratului 4 și laturile dreaptă și stângă a pătratelor 3 și 1 trebuie văzute ca identice cu laturile pătratului 6. În mod corespunzător, cuburile 7 și 8 „coincid” și nu pot fi deosebite în spațiul tridimensional prin mijloace directe. Suprafețele de jos și de sus ale cuburilor 5, respectiv 6, din dreapta și din stânga ale cuburilor 3 respectiv 4 și din față și din spate ale cuburilor 1 respectiv 2 constituie de asemenea suprafețe ale cubului 8. Desfășurarea unui cub face să fie ușor de observat coincidența dintre muchiile celui de al șaselea pătrat și cele ale pătratelor vecine (figura 77).
    
    
    Figura 78 arată situația corespunzătoare în cazul unui tessarakt. Suprafețele celui de al optulea cub trebuie considerate ca fiind identice cu suprafețele cuburilor vecine.
    
    
38. În fiecare din cele cinci poliedre regulate convexe ‒ cubul, tetraedrul, octaedrul, dodecaedrul și icosaedrul ‒ toate unghiurile diedrelor formate de suprafețele alăturate sunt egale între ele. Valoarea comună a acestor unghiuri diedre este unică pentru fiecare poliedru regulat. Suprafețele oricărui poliedru regulat sunt poligoane regulate egale între ele, adică toate muchiile lor sunt egale între ele și toate unghiurile lor sunt egale între ele. Astfel, trebuie doar să investigăm câte poligoane se pot învecina în jurul unui punct, în așa fel încât să obținem o listă completă a tuturor poliedrelor regulate posibile. Să începem cu triunghiurile echilaterale (figura 79). Două triunghiuri echilaterale nu pot forma singure un vârf al poliedrului. Trei asemenea triunghiuri pot forma un vârf de tetraedru, patru formează un vârf de octaedru iar cinci formează un vârf de icosaedru. Șase asemenea triunghiuri se așază într-un plan și nu pot forma un vârf.
    
    
    Trei pătrate pot forma un vârf de cub, în timp ce patru se așază în plan. Trei pentagoane regulate formează un vârf de dodecaedru, dar patru asemenea pentagoane s-ar suprapune (figura 80).
    
    
    Trei hexagoane se așază într-un plan, iar patru hexagoane se suprapun. Deci nu pot exista mai mult decât cele cinci tipuri de poliedre regulate menționate anterior.
39. Rudolf Steiner se referă aici la o procedură standard din cristalografia geometrică. Cele șapte clase de cristale se bazează pe cele șapte sisteme cristalografice de axe. Un grup de simetrii care reprezintă toate simetriile elementelor unei clase este numit o holoedrie. Poliedrele aparținând acestor grupuri de simetrii sunt numite forme holoedrale. Ele sunt poliedre simple care pot fi transformate unul în celălalt prin simetrii care aparțin unui singur sistem de cristale. Formele hemiedrale sunt poliedre cu jumatate din numărul de fețe ale formelor holoedrale corespondente. Hemiedralele sunt derivate din holoedrale prin prelungirea unora dintre fețele holoedralelor și prin dispariția altora. Grupul de simetrii a hemiedralelor este redus în mod corespunzător (subgrupul holoedralelor de ordin 2). În acest sens, un tetraedru este o variație hemiedrală a unui octaedru deoarece are jumătate din numărul de fețe ale acestuia.
    
    Cristalografii au introdus, de asemenea, formele tetradoedrice, poliedre cu a patra parte din numărul de fețe ale figurilor holoedrale corespunzătoare și cu un grup de simetrii redus în mod corespunzător (subgrupul de ordinul 4 al holoedrelor). Pentru mai multe informații vezi Hochstetter/Bisching [ 1868], pp. 20 și unn.; Schoute [ 1905], pp. 190 și urm.; Niggli [1924], pp. 70 și urm. și pp. 129 și urm.
40. Într-un cub, orice pereche de suprafețe secante se intersectează într-un unghi drept. Indiferent ce suprafețe alegem, prelungindu-le, vom obține întotdeauna, la intersecți, unghiuri drepte. În orice caz, într-un cub, prin reducerea numărului de suprafețe nu se mai obține un poliedru închis.
41. Prin axele cubului se înțeleg aici cele trei direcții perpendiculare care se intersecteză în centrul cubului; o pereche de suprafețe este perpendiculară pe fiecare axă. Aceste axe sunt, de asemenea, axele celor trei zone ale cubului (figura 81). O zonă sau o asociație de zone este un set de cel puțin trei suprafețe care sunt paralele cu o axă zonală.
    
    
    Un dodecaedru rombic este ușor de construit cu ajutorul unui cub. Înainte de toate sunt construite șase plane diagonale care unesc muchiile cubului două câte două (figura 82). Apoi sunt construite în afara cubului simetricele celor șase piramide interioare față de cele șase fețe ale cubului (figura 83). Cele patru „axe” menționate în conferință sunt diagonalele dodecaedrului rombic care coincid cu diagonalele cubului.
    
    
    Aceste patru axe sunt numite axele zonale ale dodecaedrului rombic ‒ adică fiecare din ele este paralelă cu șase suprafețe ale acestei figuri. Aceste patru grupe a câte șase plane sunt numite zonele dodecaedrului rombic.
    
    Deoarece nu toate vârfurile sale sunt la fel, un dodecaedru rombic nu este un poliedru regulat. Trei suprafețe se intersectează în fiecare din vârfurile cubului în timp ce patru suprafețe se intersectează în fiecare din celelalte vârfuri. Axele zonale trec prin vârfurile unde se întâlnesc trei suprafețe. Observați că „axele” descrise aici reprezintă o anume selecție din cele șapte diagonale posibile (segmentele de dreaptă care unesc vârfurile opuse două câte două).
    
    
    Pentru reprezentarea grafică: dodecaedrul rombic, ca și celelalte figuri geometrice descrise aici, este desenat în proiecție paralelă oblică care este cel mai potrivit mod de desen cu mâna pe tablă. Această proiecție cauzează ușoare distorsiuni ale figurilor în cauză, distorsiuni care trebuie luate în considerare.
42. Pe lângă axele descrise în nota precedentă, un dodecaedru rombic are și axe perpendiculare pe fețele sale. Dacă un dodecaedru rombic este ținut fix în timp ce axele sale sunt rotite cu 45° în jurul axelor perpendiculare ale cubului din care provine, atunci axele trec prin centrele a opt din fețele dodecaedrului. Figura formată de aceste suprafețe este un octaedru constând dintre cele patru perechi de suprafețe care sunt perpendiculare pe axele zonale (rotite cu 45°) ale dodecaedrului rombic (figura 85). Adăugând la aceste patru axe cele două axe orizontale (rotite și ele cu 45°) ale cubului (vezi nota precedentă) rezultă un sistem de șase „axe”; fiecare suprafață a dodecaedrului rombic este perpendiculară pe una din ele.
    
    
43. Înjumătățirea numărului suprafețelor cubului nu produce noi unghiuri diedre. Un dodecaedru rombic poate fi „înjumătățit” în câteva moduri diferite (figurile 86 și 87). Atunci când această operație produce un poliedru închis, acela este un paralelipiped oblic.
    
    
    
44. Această afirmație presupune că tăierile vârfurilor tetraedrului sunt făcute paralel cu suprafețele existente. Tăind succesiv vârfurile unui cub în așa fel încât suprafețele de secțiune să fie perpendiculare pe diagonalele cubului se obține mai întâi un cub-octaedru și, în final, un octaedru.
45. Vezi, de asemenea, conferința lui Steiner din 31 martie 1905. Indiferent care trei din cele șase plane sunt selectate, rezultatul prelungirii lor în spațiu este o „figură” care se întinde la infinit. Dacă cele trei suprafețe alese sunt perpendiculare între ele, rezultatul este o figură geometrică constând din trei axe perpendiculare și trei plane care le conțin două câte două. O asemenea figură poate fi văzută ca reprezentând spațiul euclidian tridimensional și este, de asemenea, fundamentul geometric al fiecărui sistem de coordonate euclidian sau cartezian.
46. Aici și în restul conferințelor, prezentarea lui Steiner pare să fi fost în mod substanțial prescurtată, având ca rezultat faptul că diferite perspective se suprapun.
    
    La seria pătrat-cub-tessarakt putem adăuga o altă serie de figuri geometrice unde planele sau fețele figurii sunt mai degrabă curbate decât drepte sau plate. Putem numi figurile din această a doua serie pătrate curbe, cuburi curbe și tessarakt-uri curbe. Într-o asemenea figură elementele care formează muchiile și fețele ei au același număr de dimensiuni ca și întreaga figură.
    
    Cercul, suprafața sferică (sfera bidimensională) și sfera solidă (tridimensională) sunt topologic echivalente cu elementele liniare care definesc granițele unui pătrat, unui cub, respectiv ale unui tessarakt. Discul, bila și bila cvadridimensională sunt topologic echivalente cu pătratul, cubul respectiv tessarakt-ul.
    
    Pe de altă parte, curbarea potrivită a unui segment de dreaptă unidimensional ne dă un segment bidimensional de curbă sau ‒ într-un caz special ‒ un arc de cerc. Curbarea unui disc dă naștere unei figuri tridimensionale, o emisferă goală pe dinăuntru. Curbarea unei sfere solide dă naștere unei figuri cvadridimensionale (într-un caz special, o parte dintr-o sferă cvadridimensională).
    
    În acest fel, un cerc poate fi construit din două segmente de dreaptă ale căror capete sunt unite. În mod similar, în spațiul tridimensional, o suprafață sferică poate fi construită din două discuri care au fost întâi curbate și ale cărei muchii au fost apoi unite. În spațiul cvadridimensional se obține o sferă tridimensională atunci când sunt unite suprafețele a două sfere solide curbate (sfere bidimensionale). Această sferă tridimensională se raportează la spațiul tridimensional așa cum o bilă (suprafața unei sfere obișnuite) se raportează la un plan. [Matematicianul David Cooper comentează: În ambele cazuri comparați figuri pline mai degrabă decât granițe. O sferă (granița unei bile) este bidimensională, așa că volumul sferei bidimensionale înseamnă bila tridimensională.]

Conferința a VI-a ‒ Berlin, 7 iunie 1905

47. Probabil că se face această referire la cărțile lui Hinton Romanțe științifice [1886], O nouă eră de gândire [1900] și A patra dimensiune [ 1904].
48. Strict vorbind, descrierea tessarakt-ului din conferința precedentă (31 mai 1905) nu este o proiecție, ci pur și simplu o vedere desfășurată. În conferința de față, Steiner trece la construirea unei proiecții paralele ortogonale a unui tessarakt în spațiul tridimensional, luând una din diagonale ca direcție a proiecției.
49. Considerând cadrul format de muchiile unui cub, o proiecție paralelă oblică a cubului pe plan constă în general din două pătrate care nu coincid, cu laturile paralele împreună cu segmentele care le unesc vârfurile corespunzătoare (figura 88: proiecția paralelă oblică a unui cub).
    
    
    Dacă este aleasă diagonala A'C ca direcție de proiecție, vârfurile A' și C coincid, dând naștere unui hexagon oblic și diagonalelor sale: Imaginile celor șase fețe individuale ale cubului pot fi reconstruite din acest hexagon desenând toate paralelogramele posibile definite de structura de linii existentă. Fiecare din aceste paralelograme se suprapune cu alte două, iar suprafața hexagonului este acoperită de două ori de către fețele cubului. Când direcția proiecției este perpendiculară pe planul de proiecție, imaginea rezultată este un hexagon regulat (figura 89: proiecția paralelă ortogonală a cubului).
    
    
    Observați că cele trei diagonale ale hexagonului reprezintă, de asemenea, cele trei axe ale cubului. Asocierile de zonă aparținând fiecărei axe ‒ adică cele patru fețe ale cubului care sunt paralele cu ea ‒ apar ca patru paralelograme sau romburi cu una din muchii coincizând cu axa corespunzătoare.
50. Mai devreme, în această conferință Steiner numea „romb” un pătrat distorsionat sau oblic, care este de fapt un paralelogram cu laturile rgale. Figura solidă corespondentă, paralelipipedul rombic al lui Steiner, este un cub oblic ‒ adică un paralelipiped ale cărui muchii au toate aceeași lungime.
51. Dacă vedem tessarakt-ul ca fiind cadrul format din muchiile sale, rezultatul proiectării tessarakt-ului în spațiul tridimensional constă din două cuburi oblice paralele și din segmentele care unesc vârfurile corespunzătoare (figura 90: proiecție paralele oblice ale unui tessarakt).
    
    Când proiecția se face de-a lungul diagonalei A'C, capetele A' și C coincid și se obține un dodecaedru rombic cu patru diagonale. În prima figură sunt ușor de urmărit imaginile celor opt cuburi definite de granițele tessarakt-ului: ele sunt toate paralelipipedele posibile formate de muchiile structurii existente. Aceste paralelipipede includ cubul original, cubul deplasat (oblic) și cele șase paralelipipede care au câte o față comună cu cubul original și cu cel deplasat. Această situație nu se schimbă în mod fundamental atunci când facem tranziția către dodecaednrl rombic, cu excepția că în acest caz toate „cuburile rombice” (paralelipipede) se întrepătrund în așa fel încât umplu spațiul interior al dodecaednrlui rombic de exact două ori, fiecare paralelipiped incluzând porțiuni ale altor trei.
    
    Cele patru diagonale ale dodecaedrului rombic care apar în proiecția tessarakt-ului sunt axele zonale ale celor patru grupuri de șase fete ale dodecaedrului rombic. Fiecare asemenea grup constă din toate cele șase suprafețe care sunt paralele cu o singură axă zonală. (Observați că într-un dodecaedru rombic axele trec prin vârfuri mai degrabă decât prin centrele fețelor, ca în cazul cubului.)
    
    Aceste patru axe sunt în același timp și proiecțiile celor patru axe ale tessarakt-ului care sunt perpendiculare în spațiul cvadridimensional. Cele trei axe ale unui cub trec prin centrele pătratelor fețelor. În mod analog, axele tessarakt-ului trec prin centrele cuburilor care formează „fețele” sale. În proiecție paralelă, centrul unui cub este transformat în centrul paralelipipedului corespunzător. Așa cum putem descoperi, prin studierea tuturor celor opt paralelipipede ale unui dodecaedru rombic, cele patru axe trec exact prin centrele acestor paralelipipede.
    
    Cele trei axe perpendiculare ale cubului sunt totodată axele zonale ale celor trei grupuri a câte patru fețe fiecare. La fel, cele patru axe ale tessarakt-ului sunt axele zonale ale celor patru grupuri a câte șase celule fiecare (celula fiind oricare din cuburile care formeazl o „față” a tessarakt-ului). În dodecaedrul rombic, celulele aparținând fiecărei axe sunt ușor de găsit: ele sunt cele șase paralelipipede avâud una din muchii ce coincide cu acea axă.
52. Platon, Republica, cartea 7, 514a-518c. Nu a fost încă posibil să stabilim unde folosește Schopenhauer această metaforă.
53. Zöllner atrage atenția asupra acestei interpretări a alegoriei peșterii a lui Platon în eseul său Über Wirkurtgen in die Ferne [1878a], pp. 260 și urm.
54. Vezi conferința din 24 martie 1905.
55. Ceea ce pare că înțelege Steiner aici prin tessarakt nu este un cub cvadridimensional în sensul îngust, ci mai degrabă echivalentul său topologic, sfera tridimensională în spațiul cvadridimensional care este formată prin curbarea și atașarea a două sfere tridimensionale. Vezi nota 46, conferința a V-a.
56. Vezi nota 46, conferința a V-a.
57. Restul textului acestei conferințe încorporează fragmente de traduceri citate în eseul lui Haase [1916], care a ajutat la clarificarea sensului lui.
58. Exodul 19, și de asemenea Exodul 33 și 34.
59. În literatura teosofică, cele trei regiuni superioare ale țării spiritului sunt numite regiunile Arupa, în contrast cu cele patru regiuni inferioare sau Rupa. Vezi nota editorului la Bazele esoterismului (GA 93a), pp. 281 și urm. Despre problema dimensionalității în legătură cu planurile sau regiunile lumii spiritelor, vezi, de asemenea, conferința lui Rudolf Steiner din 17 mai 1905; răspunsul lui la întrebările puse de A. Strakosch la 11 martie 1920; întrebările și răspunsurile din 7 aprilie 1921 (GA 76) și 12 aprilie 1922 (GA 82); conferințele din 19, 20, 22 și 26 august 1923 (GA 227).

Spațiul Cvadridimensional ‒ Berlin, 7 noiembrie 1905

60. Vezi conferințele lui Steiner din 24 și 31 martie 1905 precum și notele însoțitoare.
61. Vezi nota 6, conferința I.
62. Vezi autobiografia lui Rudolf Steiner, în Cursul vieții mele (GA 28), capitolul III, p. 63 și conferința sa din 3 aprilie 1922 „Die Stellung der Anthroposophie in den Wissenschaften”, în Damit der Mensch ganz Mensch werde: Die Bedeutung der Anthroposophie im Geistesleben der Gegenwart (GA 82).
63. În acest pasaj, Rudolf Steiner se referă la planul îndepărtat (sau absolut) al spațiului euclidian, rezultând un spațiu proiectiv. Un spațiu proiectiv nu are limite sau granițe, însemnând că putem călători spre „infinit” în orice direcție și ne putem întoarce din direcția opusă.
64. Vezi, de asemenea, explicația din conferința sa din 24 martie 1905 și notele însoțitoare.
65. Vezi explicațiile de la începutul conferinței precedente (7 iunie 1905) și notele însoțitoare.
66. Devachanul superior și inferior sunt domenii cerești pe care sufletul le străbate după moarte. Vezi Teosofia lui Rudolf Steiner.

Despre spațiul multidimensional ‒ Berlin, 22 octombrie 1908

67. Primele studii matematice asupra problemei spațiului multidimensional datează de la mijlocul secolului al XIX-lea. Vezi introducerea la Geometria cu patru dimensiuni [1914].
68. În pasajele care urmează, Rudolf Steiner se bazează pe studiile lui Riemann asupra geometriei varietăților n-dimensionale. Vezi nota 1, conferința I.
69. Vezi, de asemenea, următoarele cărți, care erau bine cunoscute și populare în timpul lor: Abbott, Lumea plată [1884], Hinton, capitolul „O lume plană”, în Romanțe științifice [1886] (pp. 129-159) și Hinton, Un episod al lumii plate [1907].
70. Vezi, de asemenea, conferința lui Rudolf Steiner din 10 aprilie 1912 (GA 136). Nu ne-a fost posibil să confirmăm presupunerea că această afirmație a lui Steiner se referă la concepția lui Zöllner despre acest subiect. Teoria lui Zöllner despre comete (vezi Zöllner [1886]) a devenit baza și punctul de plecare pentru teoria modernă convențională despre comete și nu există nicio indicație că Zöllner ar fi văzut vreo legătură între teoria sa despre comete și ideile spiritualiste despre spațiul cvadridimensional.

AcasăLucrări OnlineIndex GA324aPrecedentaUrmătoarea